logo search
math

7. Метод наименьших квадратов. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений

Литература. [4], гл. VIII, § 19; [5], гл. X, § 3, п. 5°, задачи 3156, 3157.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое истолкование этих понятий.

  2. Что называется функцией трех переменных, ее областью определений? Как можно геометрически истолковать область определения функции трех переменных.

  3. Что называется поверхностью уровня и линией уровня? Какие поверхности являются поверхностями уровня функции u=х2+у2+z2? Постройте линии уровня функции z=х2y.

  4. Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?

  5. Что называется точкой разрыва функции двух переменных? Приведите пример функции двух переменных, непрерывной всюду, кроме каждой точки окружности х2+у2=1.

  6. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функций нескольких переменных. В чем состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

  7. Когда функция z=f(x, у) называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к известному?

  8. Выведите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М0. В чем состоит геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?

  9. Выведите формулы нахождения сложной функции.

  10. Напишите формулу вычисления полной производной dz/dx сложной функции z=f(u, v), где u=u(х), v=v(x). Как записать эту формулу в случае u=х?

  11. Выведите формулу дифференцирования неявной функции у=у(х), заданной уравнением F(х, у)=0.

  12. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функций двух переменных.

  13. Что называется производной функции u=u(х, у, z) в данной точке М0 по направлению вектора s? Выведите формулу ее вычисления

  14. Что называется градиентом скалярного поля u=u(х, у, z) в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные вам свойства градиента.

  15. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Выведите необходимые условия и сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух переменных.

  16. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функция двух переменных.

  17. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

  18. Что называется условным экстремумом функции z=f(x, у)? Изложите метод нахождения условных экстремумов функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием.

  19. В чем состоит метод наименьших квадратов при нахождении функции на основании экспериментальных данных?

  20. В чем состоит метод итераций решения системы уравнений? После изучения темы X выполните контрольную работу 6.