10. Квадратичные формы

Литература. [2], гл. III, § 23—25; [1], гл. IX, § 2; [10], §22—26; [9], ч. I, гл. V, § 7.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных x₁ х₂

Ф(x₁; х₂) = а₁₁х²₁ + 2а₁₂х₁х₂ + а₂₂x²₂ (34)

называется квадратичной формой от этих переменных.

Если положить a₂₁ = a₁₂, то квадратичную форму (34) можно записать в виде

Ф = x₁(a₁₁x_l+a₁₂x₂) + x₂(a₂₁x₁+a₂₂x₂).

или

Ф = х₁у₁+х₂у₂, (35)

где

Выражения (36), а значит, и квадратичная форма (34) полностью определяются матрицей

называемой матрицей квадратичной формы. (34).

В дальнейшем всюду будем предполагать, что базис ортонормированный.

Произведем замену базиса. Это приведет к тому, что от переменных x₁, x₂ мы перейдем к переменным x’₁, x’₂ которые выражаются через x₁, x₂ линейно. Квадратичная форма (34) также преобразуется, но остается квадратичной (конечно относительно новых переменных x’₁, x’₂); преобразуются лишь ее коэффициенты. Выражение (35) принимает вид

где

Матрица А теперь имеет вид

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования является диагональной с собственными значениями на главной диагонали:

где λ1, λ2 — собственные числа; система (36') принимает вид у'₁=-λ₁х'₁, у'₂=λ₂х'₂, а квадратичная форма (35') —вид

Выражение (38) называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично приводится к каноническому виду и квадратичная форма с большим числом переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду можно использовать для приведения к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка.

Пример 8. Привести к каноническому виду уравнение линии

17х² + 12ху + 8x² – 20 = 0.

Решение. Группа старших членов данного уравнения образует квадратичную форму

17х² + 12ху + 8x².

Ее матрица

Собственными значениями соответствующего линейного преобразования являются числа λ₁ = 5, λ₂=20 (п. 9, пример 7). Следовательно, квадратичная форма 17х² + 12ху + 8x² преобразуется к каноническому виду

а данное уравнение— к виду

Данная линия — эллипс.

Можно указать и базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический вид. Его легко получить исходя из собственных векторов линейного преобразования с матрицей А:

(п. 9, пример 7).

Предполагая, что исходный базис — ортонормированный, находим длину вектора и, равную . Нормируя вектор и, получаем вектор . Аналогично, . Базис e’₁, е’₂ и является искомым ортонормированным базисом, в котором данное уравнение принимает канонический вид.

Можно записать и формулы преобразования координат. Если обозначить векторы исходного базиса через . Сравнивая с формулой (см. [1], гл. 1, § 4, п. 3) е’1=cos φ∙e₁+sin φ∙е₂, заключаем, что следовательно,

Подставив эти выражения в данное уравнение и преобразовав его, убедитесь, что получится то же каноническое уравнение. Сделайте чертеж.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется преобразованием пространства? Какие преобразования называются линейными?

2. Как найти матрицу линейного преобразования, являющегося произведением двух линейных преобразований, матрицы которых известны?

3. Что называется собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования? Как их найти?

4. Что называется квадратичной формой и ее матрицей? В каком случае говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид?

5. Как применяется теория квадратичных форм для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду?