logo search
math

1. Число. Переменная. Функция

Литература. [4], гл. I, § 1—5; [5], гл. I, § 1, (п. 1°), задачи 1—3; гл. X, § 1, задачи 3108—3127; [4], гл. I, § 6, упр. 1—6, § 7, упр. 8—10, 12, 14, 16, 18, 28, 29, 34, 39, 40; § 8, упр. 7; § 9; [5], задачи 7, 8, 161—163, 12, 14, 17, 20, 21, 41, 42, 26.

Рекомендуется также прочитать из [11] § 1.4—1.11 и § 3.1, где содержится более полное и более строгое изложение понятий действительного числа и функции.

Если известен график функции y=f(x), то график функции вида y=kf(mx+b)+a можно построить последовательным преобразованием графика функции y—f(x).

Покажем, например, как с помощью таких преобразований можно построить график функции у=-2sin(2*+2) исходя из известного графика функции y=sinx. От функции y=sinx к функции у =-2sin(2x+2) можно перейти с помощью следующей цепочки преобразований:

Геометрически это приводит к следующим построениям (рис. 1):

1. Строим волну синусоиды y = sinx; 0≤х≤2π.

2. Отмечаем на синусоиде несколько точек и уменьшаем в два раза их абсциссы, не изменяя ординат; таким образом, мы отображаем точку (х; у) в точку (x1; y1), где x1=x/2, y1=y. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции y1=sin2x1, являющийся результатом «сжатия» графика функции y=sinx коси Оу в два раза.

3. Увеличиваем ординаты точек, построенных в предыдущем пункте, в два раза, а затем меняем их знаки на противоположные, не изменяя абсцисс; таким образом, мы отображаем точку (х1; у1) в точку (х2; у2), где у2=-2у1, x2=x1. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции у2=-2sin2x2, являющийся результатом «растяжения» графика функции y1=sin2x1, от оси Ох в два раза с последующим зеркальным отражением графика от оси Ох.

4. Переносим точки, построенные в предыдущем пункте, на —1 в направлении оси Ох (т. е. на единицу влево); таким образом, мы отображаем точку (х2, у2) в точку (X, Y), где Х=х2—1, Y=y2. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции Y=-2sin2(X+1)=-2sin(2X+2), являющийся результатом «сдвига» графика функции у2=-2sin2x2 на -1 в направлении оси Ох. Искомый график функции y=-2sin(2x-2) построен.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?

  2. Что называется погрешностью, предельной абсолютной погрешностью и предельной относительной погрешностью?

  3. Как записываются приближенные числа?

  4. Каковы правила арифметических действий с приближенными числами'

  5. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

  6. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

  7. Какая функция называется периодической? Приведите примеры.

  8. Какая функция называется сложной' Приведите примеры.

  9. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

  10. Как, зная график функции y=f(x), можно построить графики функций y=f(mx), y=f(mx+b), y=kf(mx+b)+a?