2.3. Интерполяционный полином Ньютона

Пусть n=0, тогда , если n=1, то выражение для полинома можно записать в виде: , т. е. поведение приближающей функции с добавлением узлов, уточняется вблизи точки х₀. Конструкция интерполяционного полинома Ньютона такова:

Рассматривается равномерная сетка, т.е. .

Для дальнейшего анализа вводится понятие конечной разности. Конечной разностью первого порядка называется величина

.

Конечная разность второго порядка определяется по первой

и т.д. конечная разность i – ого порядка определяется через рекуррентное соотношение:

и зависят от значений y в (i + 1) – ой точке.

Выражение вида: называется обобщенным произведением. Его первая конечная разность равна:

. (2.3.1)

Отсюда следует выражение для конечных разностей высших порядков.

Подставляя в , получим: . Далее, определим конечную разность в точке . Из свойства (2.3.1) получим:

Отсюда следует, что . Точно также из (2.3.1) следует выражение для конечной разности второго порядка в точке :

.

Общая формула имеет вид: .

В результате получаем первый интерполяционный полином Ньютона:

(2.3.2)

Построенный таким образом интерполяционный полином проходит через узловые точки.

Второй интерполяционный полином Ньютона позволяет начать интерполяцию с точки , т.е. улучшить точность приближения на правой границе интервала интерполяции

Из структуры полинома следует, что .

;

; ; и так далее. Окончательно получим:

; (2.3.3)

При расчётах и алгоритмизации вычисления интерполяционного полинома применяется таблица конечных разностей:

Таблица 2.2

Для построения 1-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима 1-ая строка табл. 2.2. Для построения 2-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима побочная диагональ таблицы. Обычно при машинных расчётах массив ординат узловых точек последовательно преобразуется в массив коэффициентов , так что они запоминаются в соответствующих элементах массива.