3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений

Уравнение преобразуется к виду

(3.1.1)

и, если выполняется условие

, (3.1.2)

то итерационный процесс:

(3.1.3)

сходится к точному значению. Действительно, , из теоремы о среднем следует оценка: , т.е., расстояние между точками последовательности уменьшается, если - (= q – знаменатель сходимости). По теореме о неподвижной точке в этом случае существует предел - решение уравнения. Начальная точка - любая точка интервала локализации корня. Знаменатель сходимости зависит от вида . Уравнение может быть преобразовано к итерационному виду (3.1.1) множеством различных способов – модификаций одношагового стационарного метода простой итерации (см. также 3.3), выбором которых можно добиться минимума знаменателя сходимости.

Например, исходное уравнение эквивалентно следующему: . Достаточное условие сходимости (3.1.2) выполняется, если , где