3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений

Общий вид уравнения . Решить уравнение, т.е. найти его корень, означает определить такое, что .

Во многих случаях точное значение найти невозможно, поэтому используются приближенные методы, когда значение корня определяется с заданной точностью . Геометрически корень – это пересечение графиком функции оси .

Задача делится на 2 этапа:

1. Локализация корня – т.е. нахождение интервала, на котором изолирован единственный нужный нам корень. Выбор интервала производится путем анализа знака в ряде пробных точек. Этот процесс в общем виде не алгоритмизируется.

2. Уточнение положения корня на интервале локализации.

Свойства функции на интервале локализации [a, b]:

1. непрерывна на [a, b]

2. монотонна на [a, b] , т.е. или , что обуславливает единственность корня

3. меняет знак на [a, b], , т.е. корень существует.

4. не имеет точек перегиба, т.е. или .

Последние условия не являются в общем случае обязательными, но для сходимости некоторых методов они необходимы. Так, если функция имеет корень в точке своего локального минимума, условие 2.3. не выполняется, однако оно необходимо для сходимости методов дихотомии, хорд и секущих. Для сходимости метода секущих также необходимо выполнение условия 2.4.

Нахождение приближенного значения корня – это итерационный процесс, когда по предыдущему (предыдущим) значениям корня находится следующее приближенное значение. Итерационный процесс прекращается, когда достигается заданная точность:

(3.1)

Для этого необходимо, чтобы процесс итераций сходился. Рассмотрим несколько итерационных процедур.