Содержание

Введение 4

1. Абсолютная и относительная погрешности. 4

1.1. Число верных знаков приближенного числа 5

1.2. Погрешность функций 6

1.3. Погрешность простейших функций двух переменных 6

1.4. Примеры и задания 7

2. Приближение функций 10

2.2. Интерполяционный полином Лагранжа 11

2.3. Интерполяционный полином Ньютона 13

2.3. Примеры и задания для практических занятий 16

3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений 18

3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений 19

3.2. Метод хорд и секущих 20

3.3. Метод касательных 21

3.4.Скорость сходимости итерационных методов 22

3.5.Условие выхода из вычислительного процесса по заданной точности в методах простой итерации 24

3.6.Пример и задание для практических занятий 25

4. Численное интегрирование 27

4.1. Метод Ньютона – Котеса 27

4.2. Метод прямоугольников. 28

4.3. Метод трапеций 28

4.4. Метод парабол. (Метод Симпсона) 29

4.5. Квадратурные формулы Гаусса 30

4.6. Задание для практических занятий 32

5.Численные методы линейной алгебры 33

5.1. Численное решение СЛАУ 33

5.2. Прямые методы решения СЛАУ 36

5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений) 37

5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса 38

5.2.3. Ортогонализация матриц 40

5.2.4. Решение системы уравнений методом ортогонализации 41

5.3. Итерационные методы решения СЛАУ 41

5.3.1. Метод простой итерации 41

5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя 44

5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (ОСП) для простой итерации 47

5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц 55

5.5. Примеры и задания к теме 56

5.5.1. Прямые методы решения СЛАУ 56

5.5.2. Итерационные методы решения СЛАУ 59

5.5.3. Нахождение собственных значений и векторов 65

6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 67

6.1. Метод разложения в ряд Тейлора 67

6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта 68

6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков 68

6.3.1 Метод Эйлера 68

6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника 69

6.4. Методы Рунге-Кутта высших порядков 69

6.5. Задание к теме и пример решения ОДУ 71

7.Численное решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных 72

7.1.Конечные разности. 72

7.2.Гиперболические уравнения 74

7.3.Параболические уравнения 76

7.4.Уравнения эллиптического типа 80

7.4.1. Разностная схема уравнений 80

7.5.Лабораторные задания к теме «Численное решение уравнений в частных производных» 84

7.5.1. Гиперболические уравнения 84

7.5.2. Параболические уравнения 85

7.5.3. Эллиптические уравнения 86

87

Литература 88

Содержание 89