Условие выхода из вычислительного процесса по заданной точности в методах простой итерации

Формула (3.1) выхода из процесса итераций не всегда пригодна для практического использования. Она, например, не выполняется, если функция имеет корень в точке локального минимума. Кроме того, если алгоритм вычисления функции является плохо обусловленным (см. ), относительная ошибка результата вычисления функции возле её корня может значительно превосходить машинную константу, а также желаемую точность определения корня. В этом случае критерий (3.1) не обеспечивает остановку итерационного процесса при достижении заданной величины . Заметим при этом, что в тех методах, в которых выбор текущего интервала основан на вычислении знакопеременности функции на его концах (метод дихотомии, метод хорд и т.п.), применение другого критерия не уменьшает уже возникшую в такой ситуации ошибку, а приводит лишь к выходу из процесса вычислений.

Покажем практический способ выхода из процесса итераций гарантирующий достижение заданной точности вычислений в общем случае простой итерации со знаменателем . Считается, что корень на -ой итерации вычислен с точностью , если . Контролю же в процессе вычислений поддаётся величина . Установив связь между этими величинами, мы получим возможность проводить вычисления с заданной точностью. Заметим, что при . Далее, учитывая неравенство треугольника и (3.4.2)

При получаем

Таким образом, требование

(3.5.1)

обеспечивает заданную точность вычислений .

4. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Численные методы,
   • Введение
   • 1. Абсолютная и относительная погрешности.
   • 1.1. Число верных знаков приближенного числа
   • 1.2. Погрешность функций
   • 1.3. Погрешность простейших функций двух переменных
   • 1.4. Примеры и задания
   • 2. Приближение функций
   • 2.1. Интерполяционные полиномы
   • 2.2. Интерполяционный полином Лагранжа
   • 2.3. Интерполяционный полином Ньютона
   • 2.3. Примеры и задания для практических занятий
   • Второй интерполяционный полином Ньютона:
   • 3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений
   • 3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений
   • 3.2. Метод хорд и секущих
   • 3.3. Метод касательных
   • Скорость сходимости итерационных методов
   • Условие выхода из вычислительного процесса по заданной точности в методах простой итерации
   • Пример и задание для практических занятий
   • 4. Численное интегрирование
   • 4.1. Метод Ньютона – Котеса
   • 4.2. Метод прямоугольников.
   • 4.3. Метод трапеций
   • 4.4. Метод парабол. (Метод Симпсона)
   • 4.5. Квадратурные формулы Гаусса
   • 4.6. Задание для практических занятий
   • Численные методы линейной алгебры
   • 5.1. Численное решение слау
   • 5.2. Прямые методы решения слау
   • 5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений)
   • 5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса
   • 5.2.3. Ортогонализация матриц
   • 5.2.4. Решение системы уравнений методом ортогонализации
   • 5.3. Итерационные методы решения слау
   • 5.3.1. Метод простой итерации
   • 5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя
   • 5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (осп) для простой итерации
   • 5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц
   • 5.5. Примеры и задания к теме
   • 5.5.1. Прямые методы решения слау
   • 5.5.2. Итерационные методы решения слау
   • 5.5.3. Нахождение собственных значений и векторов
   • 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
   • 6.1. Метод разложения в ряд Тейлора
   • 6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта
   • 6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков
   • 6.3.1 Метод Эйлера
   • 6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника
   • 6.4. Методы Рунге-Кутта высших порядков
   • 6.5. Задание к теме и пример решения оду
   • Численное решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных
   • Конечные разности.
   • Гиперболические уравнения
   • Параболические уравнения
   • Уравнения эллиптического типа
   • 7.4.1. Разностная схема уравнений
   • Лабораторные задания к теме «Численное решение уравнений в частных производных»
   • 7.5.1. Гиперболические уравнения
   • 7.5.2. Параболические уравнения
   • 7.5.3. Эллиптические уравнения
   • Литература
   • Содержание

   Yandex.RTB R-A-252273-4