5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя

Исторически одними из самых ранних итерационных мето- дов являются метод Якоби и метод Зейделя, которые могут быть представлены в виде модификации метода простой итерации. Перепишем (5.1) в следующем виде

(5.3.2.1)

Используем (5.3.2.1) для построения процесса итераций, начиная с при , :

(5.3.2.2)

В матричных обозначениях метод Якоби можно записать следующим образом. Представим , где - диагональная матрица,,. - матрица с нулевой главной диагональю. Тогда справедлива запись уравнения аналогично (5.3.1.6), где

, (5.3.2.3)

.

Матрица - диагональная и , Необходимые и достаточные условия сходимости метода Якоби

Другой известный метод простой итерации для случая, когда строится на основе матрицы с нулевой главной диагональю - это метод Зейделя. Он отличается от метода Якоби тем, что при расчете координат вектора на текущей -й итерации используются не только координаты вектора на предыдущей -й итерации , но и уже ранее найденные на текущей итерации координаты вектора :

: (5.3.2.4)

В матричных обозначениях это соответствует представлению исходной матрицы как , где -нижняя треугольная матрица, -диагональная матрица, и - верхняя треугольная матрица.

В отличие от метода Якоби действие оператора на вектор предыдущей итерации разделяется здесь на две части:

(5.3.2.5)

и процесс его воздействия (но не результат!) нельзя свести к воздействию какой-либо матрицы на вектор предыдущей итерации.

Метод Зейделя хорошо алгоритмизируется. Если известна скорость сходимости метода, нет необходимости хранить оба вектора и .

Достаточными условиями сходимости методов Якоби и Зейделя является диагональное преобладание в матричных элементах:

, для всех ,

однако на практике область сходимости значительно шире и определяется условием (5.3.1.5) на спектральный радиус матрицы (5.3.2.3) для метода Якоби и оператора (5.3.2.5) для метода Зейделя. Для решения СЛАУ с ленточными матрицами метод Зейделя является превосходным инструментом. Так, для симметричных положительно определенных матриц он будет всегда сходящимся. Однако возможно улучшение сходимости как метода Зейделя, так и любого другого метода простой итерации с помощью изложенного ниже метода оптимального спектрального параметра.