5.3.1. Метод простой итерации

Многие итерационные методы могут быть сведены к процессу простой итерации. При этом исходное уравнение тем или иным способом должно быть сведено к уравнению

(5.3.1.1)

Здесь - неизвестный вектор, - заданный вектор правой части, - заданная матрица коэффициентов (оператор). Например, если задана СЛАУ (5.1), то непосредственно принимая

, (5.3.1.2)

где - единичная матрица, приходим к (5.3.1.1).

Процесс простой итерации строится следующим образом:

, (5.3.1.3)

В качестве начального приближения можно принять .

Заметим, что переход от (5.1) к (5.3.1.1) может быть выполнен не единственным способом, что приводит к различным модификациям метода простой итерации. Так, метод (5.3.1.3) с преобразованием (5.3.1.2) известен в литературе как метод Ричардсона. Другие методы простой итерации будут рассмотрены в разделе 5.3.2.

Процесс простой итерации может быть эквивалентно записан также в виде ряда по степеням оператора , т.е., в виде, так называемого, ряда Неймана

(5.3.1.4)

Если матрица постоянна (не зависит от номера итерации ), то такой итерационный процесс называется стационарным.

Пусть - «гипотетическое» точное решение, строго удовлетворяющее , а - ошибка на -м шаге. Подставляя в формулу простой итерации получаем для соотношения ошибок на и -м шаге . Для нормы ошибки: .

Отсюда следует достаточное условие сходимости процесса простой итерации: .

Действительно, тогда

Оператор с называется сжимающим, а процесс (5.3.1.2), (5.3.1.3) для него сходящимся, т.к. ошибка убывает с каждым шагом, независимо от её начальной величины.

Спектральным радиусом матрицы (конечномерного оператора) называется , где - собственные числа оператора (см. 5.4).

Для любой нормы справедливо соотношение

Доказывается, что необходимым и достаточным условием сходимости процесса простой итерации (5.3.1.3) является

< 1, (5.3.1.5)

при этом итерации сходятся не хуже геометрической прогрессии со знаменателем .

Условие (5.3.1.5) является, как правило, сильным ограничением при непосредственном применении метода (5.3.1.2), (5.3.1.3) к заданной СЛАУ. Выбор нового оператора с другим спектром при эквивалентности исходной системе (5.1) может значительно расширить область сходимости процесса простой итерации с его участием:

, (5.3.1.6)

В качестве условия выхода из вычислительного процесса по достижении заданной точности решения , аналогично (3.5.1), можно принять: , где спектральный радиус или какая-либо оценка другой нормы .