5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса

В каждом уравнении выделяется ведущий элемент, на который производится деление; пусть это будет . Делим первое уравнение на :

Все остальные элементы преобразуются по схеме:

(5.2.2.1)

На втором шаге ведущим элементом выбирается , на него делится вторая строка, а все остальные элементы преобразуются по формуле:

(5.2.2.2)

Элементы во втором столбце с 2 становятся равны 0. В результате таких преобразований, мы приходим к верхней треугольной матрице с единичной диагональю:

Преобразование к верхней треугольной матрице называется прямым ходом.

Далее следует обратный ход: начиная с, последовательно вычисляются компоненты вектора:

; ;

,. (5.2.2.3)

В машинных расчетах в качестве ведущего элемента обычно выбирается максимальный элемент - го столбца с или строки с .

Эта строка (или столбец) переставляются на место -ой строки (столбца). Такой выбор уменьшает ошибки округления. При ручных расчетах элементы матрицы записываются вместе с элементами вектора в расширенную матрицу:

далее из соображений удобства выбирают ведущий элемент, а преобразование остальных элементов на одном шаге прямого хода метода Гаусса проводят по правилу прямоугольника. В матрице выделяется прямоугольник, на главной диагонали которого расположены ведущий и преобразуемый элементы.

Пусть - ведущий элемент, тогда

. (5.2.2.4)

Из преобразуемого элемента вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, деленное на ведущий элемент.