Конечные разности.

Область решения на плоскости двух переменных, например  , разбивается на дискретную сетку из узлов , подмножества целых чисел. Например, в прямоугольнике узлы сетки: , (7.1.1)

где шаги сетки по координатам и соответственно, целые числа.

Неизвестная функция , участвующая в краевой задаче, заменяется искомой сеточной функцией на узлах сетки. Частные производные по координатам заменяются соответствующими конечными разностями, которые могут быть различного порядка точности по шагу сетки вдоль координаты. Пусть шаг сетки вдоль рассматриваемой координаты, значение функции в рассматриваемой точке последующие и предыдущие значения сеточной функции по данной координате. Тогда первая производная по этой координате может быть заменена правой или левой конечной разностью порядка : (7.1.2)

или центральной конечной разностью порядка : (7.1.3)

Можно записать также для первой производной конечную разность порядка :

Центральные конечные разности для второй производной порядка и выглядят следующим образом: (7.1.4)

Например, для первой производной по времени можно принять правую конечную разность порядка : , а для второй производной по координате центральную конечную разность порядка :

2. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Численные методы,
   • Введение
   • 1. Абсолютная и относительная погрешности.
   • 1.1. Число верных знаков приближенного числа
   • 1.2. Погрешность функций
   • 1.3. Погрешность простейших функций двух переменных
   • 1.4. Примеры и задания
   • 2. Приближение функций
   • 2.1. Интерполяционные полиномы
   • 2.2. Интерполяционный полином Лагранжа
   • 2.3. Интерполяционный полином Ньютона
   • 2.3. Примеры и задания для практических занятий
   • Второй интерполяционный полином Ньютона:
   • 3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений
   • 3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений
   • 3.2. Метод хорд и секущих
   • 3.3. Метод касательных
   • Скорость сходимости итерационных методов
   • Условие выхода из вычислительного процесса по заданной точности в методах простой итерации
   • Пример и задание для практических занятий
   • 4. Численное интегрирование
   • 4.1. Метод Ньютона – Котеса
   • 4.2. Метод прямоугольников.
   • 4.3. Метод трапеций
   • 4.4. Метод парабол. (Метод Симпсона)
   • 4.5. Квадратурные формулы Гаусса
   • 4.6. Задание для практических занятий
   • Численные методы линейной алгебры
   • 5.1. Численное решение слау
   • 5.2. Прямые методы решения слау
   • 5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений)
   • 5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса
   • 5.2.3. Ортогонализация матриц
   • 5.2.4. Решение системы уравнений методом ортогонализации
   • 5.3. Итерационные методы решения слау
   • 5.3.1. Метод простой итерации
   • 5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя
   • 5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (осп) для простой итерации
   • 5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц
   • 5.5. Примеры и задания к теме
   • 5.5.1. Прямые методы решения слау
   • 5.5.2. Итерационные методы решения слау
   • 5.5.3. Нахождение собственных значений и векторов
   • 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
   • 6.1. Метод разложения в ряд Тейлора
   • 6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта
   • 6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков
   • 6.3.1 Метод Эйлера
   • 6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника
   • 6.4. Методы Рунге-Кутта высших порядков
   • 6.5. Задание к теме и пример решения оду
   • Численное решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных
   • Конечные разности.
   • Гиперболические уравнения
   • Параболические уравнения
   • Уравнения эллиптического типа
   • 7.4.1. Разностная схема уравнений
   • Лабораторные задания к теме «Численное решение уравнений в частных производных»
   • 7.5.1. Гиперболические уравнения
   • 7.5.2. Параболические уравнения
   • 7.5.3. Эллиптические уравнения
   • Литература
   • Содержание

   Yandex.RTB R-A-252273-4