Параболические уравнения

Данный тип уравнений рассмотрим на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности (7.3.1) с граничными (7.3.2) и начальными условиями (7.3.3), описывающего процесс установления температуры в изолированном стержне, имеющем на концах постоянную температуру и и заданное начальное распределение температуры вдоль стержня : , (7.3.1)

, , (7.3.2)

(7.3.3)

Для аппроксимации уравнения (7.3.1) используем конечные разности (7.1.2) и (7.1.4)

Обозначим . После преобразований получаем явную четырехточечную сеточную схему, в которой значение функции на слое по времени выражается через три соседних значения на нижнем, -ом слое:

(7.3.4)

Формула (7.3.4) позволяет последовательно найти все значения сеточной функции, начиная со слоя , на котором заданы начальные условия (7.3.3). Однако вычисления по этой формуле устойчивы только в том случае, если выполняется условие . Это накладывает жесткие ограничения на шаг сетки по времени, обязывая выбирать этот шаг намного меньшим, чем шаг по пространственной координате, что существенно увеличивает время расчета и ограничивает применимость явной схемы.

Для аппроксимации уравнения (7.3.1) может быть использована левая конечная разность (7.1.2)

, что приводит к неявной четырёхточечной разностной схеме , (7.3.5) которая устойчива при любых соотношениях шагов сетки.

Из (7.3.5) следует, что для каждого слоя по времени значения неизвестной сеточной функции , связаны СЛАУ с трехдиагональной матрицей. В этой матрице на главной диагонали находится значение , а на двух соседних диагоналях -. Значение на главной диагонали близко к , т.к. значение , как правило, . Вектор в правой части (7.3.5)(при постоянном значении ) известен из вычислений на предыдущем шаге по времени и входит в правую часть СЛАУ.

Последовательно решая СЛАУ (7.3.5), начиная со слоя , можно вычислить сеточную функцию во всей области решения. Система (7.3.5) может быть решена как стандартным методом ( т.к. порядок системы не слишком велик - ), так и специальными методами применяемыми для решения систем с трехдиагональными матрицами, например, методом прогонки [2].

рис.2

На рис.2 представлен расчет установления температуры в стержне, проведенный по неявной схеме (7.3.5), при следующих начальных и граничных условиях: , ; , , ; , . Шаги сетки по времени и по пространственной координате , . При данном значении расчеты по явной схеме (7.3.4) были бы невозможны из-за большой неустойчивости. Число шагов по и по соответственно M=10, N=100.

4. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Численные методы,
   • Введение
   • 1. Абсолютная и относительная погрешности.
   • 1.1. Число верных знаков приближенного числа
   • 1.2. Погрешность функций
   • 1.3. Погрешность простейших функций двух переменных
   • 1.4. Примеры и задания
   • 2. Приближение функций
   • 2.1. Интерполяционные полиномы
   • 2.2. Интерполяционный полином Лагранжа
   • 2.3. Интерполяционный полином Ньютона
   • 2.3. Примеры и задания для практических занятий
   • Второй интерполяционный полином Ньютона:
   • 3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений
   • 3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений
   • 3.2. Метод хорд и секущих
   • 3.3. Метод касательных
   • Скорость сходимости итерационных методов
   • Условие выхода из вычислительного процесса по заданной точности в методах простой итерации
   • Пример и задание для практических занятий
   • 4. Численное интегрирование
   • 4.1. Метод Ньютона – Котеса
   • 4.2. Метод прямоугольников.
   • 4.3. Метод трапеций
   • 4.4. Метод парабол. (Метод Симпсона)
   • 4.5. Квадратурные формулы Гаусса
   • 4.6. Задание для практических занятий
   • Численные методы линейной алгебры
   • 5.1. Численное решение слау
   • 5.2. Прямые методы решения слау
   • 5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений)
   • 5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса
   • 5.2.3. Ортогонализация матриц
   • 5.2.4. Решение системы уравнений методом ортогонализации
   • 5.3. Итерационные методы решения слау
   • 5.3.1. Метод простой итерации
   • 5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя
   • 5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (осп) для простой итерации
   • 5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц
   • 5.5. Примеры и задания к теме
   • 5.5.1. Прямые методы решения слау
   • 5.5.2. Итерационные методы решения слау
   • 5.5.3. Нахождение собственных значений и векторов
   • 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
   • 6.1. Метод разложения в ряд Тейлора
   • 6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта
   • 6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков
   • 6.3.1 Метод Эйлера
   • 6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника
   • 6.4. Методы Рунге-Кутта высших порядков
   • 6.5. Задание к теме и пример решения оду
   • Численное решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных
   • Конечные разности.
   • Гиперболические уравнения
   • Параболические уравнения
   • Уравнения эллиптического типа
   • 7.4.1. Разностная схема уравнений
   • Лабораторные задания к теме «Численное решение уравнений в частных производных»
   • 7.5.1. Гиперболические уравнения
   • 7.5.2. Параболические уравнения
   • 7.5.3. Эллиптические уравнения
   • Литература
   • Содержание

   Yandex.RTB R-A-252273-4