5.5.2. Итерационные методы решения слау

Найти решение СЛАУ с матрицей и правой частью итерационными методами Якоби, Зейделя и ОСП. Решение получить с заданной относительной точностью . Указать количество итераций необходимых каждому методу для достижения заданной точности. На практических занятиях с использованием калькуляторов в случаях слабой сходимости ограничиться числом , отразив это в результатах. На лабораторных работах с использованием пакета Mathcad это ограничение снимается. Отметить также случаи явной расходимости метода.

В качестве оптимального параметра для сходимости метода ОСП в задаче с матрицей (5.3.1.2) размером следует принимать:

• , в случае (и в случае периодического продолжения на трехдиагональную матрицу с большим значением )

• , для задач с трехдиагональной матрицей с постоянной главной диагональю, где . В частности, для матриц с .

В случаях расходимости всех трех используемых методов следует применить комбинированный метод Якоби-Зейделя и ОСП. Для этого потребуется найти собственные числа матрицы Якоби (5.3.2.3) и на этой основе сделать вывод о значении для ряда оптимальной простой итерации с матрицей (5.3.3.1), в которой - матрица (5.3.2.3). Этот же оптимальный параметр можно использовать для построения ряда простой итерации с оператором (5.3.3.1), где -оператор Зейделя (5.3.2.5). Однако, в последнем случае оптимальный параметр, как правило, может быть значи-

тельно улучшен и в необходимых случаях он указан.

Варианты заданий.

При выполнении лабораторных работ с помощью пакета Mathcad указанные варианты видоизменяются до больших трехдиагональных матриц с и . Для этого главная и две побочные диагонали периодически продолжаются на большую матрицу. Остальные коэффициенты матрицы нулевые. Так, матрица варианта №2 выглядит следующим образом:

Оптимальный параметр для метода ОСП остаётся при этом неизменным (несмотря на трансформацию спектра матрицы- увеличение радиуса круга при неизменном положении его центра) и определяется так, как указано выше для малых матриц.

Решить задачу для различных векторов правой части:

1). 2). 3). для всех . Относительная точность вычислений для всех вариантов .

Варианты помеченные * используются только для практических работ с n=2 и для n=100 решений в виде сходящегося итерационного процесса не имеют. В этом случае выбирается вариант с номером = 16 - №вар.

В результате работы представить для каждого метода:

• вектор решения (несколько первых компонент)

• число итераций

• невязку решения (по норме)

• спектр матрицы (с помощью стандартных функций Mathcad)

Сравнить значение оптимального параметра, полученного исходя из знания спектра оператора, и найденного по вышеизложенным правилам.

Сравнить решение СЛАУ, полученное стандартным методом Mathcad и Вашим итерационным методом.

Сделать выводы о причинах хорошей (плохой) сходимости итерационного метода и о её зависимости от начального приближения (правой части ).

Найти число обусловленности исходной матрицы (с помощью стандартных функций Mathcad).

Для вариантов задания с быстрой сходимостью () сравнить при время решения СЛАУ стандартным методом Mathcad и итерационным методом.