5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц

Собственными векторами и собственными значениями матрицы называются вектора и числа, удовлетворяющие соотношению: , причем собственный вектор определен с точностью до постоянного множителя.

В дальнейшем рассматриваются невырожденные матрицы, имеющие различные собственные значения Для нахождения собственных значений необходимо решить уравнение: . Нахождение коэффициентов характеристического полинома:

непосредственным раскрытием определителя достаточно громоздко. В методе Крылова используется то, что подстановка в характеристический полином вместо переменной матрицы дает в результате нулевую матрицу: . Это тождество помножается слева на произвольный вектор :

, где , то есть получается СЛАУ относительно коэффициентов характеристического полинома . Для определения собственных векторов вводится система полиномов

,

, если .

Учитывается, что собственные вектора линейно независимые, то есть любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации:

.

Собственный вектор является линейной комбинацией векторов и коэффициентов полинома . Действительно:

Коэффициенты при собственных векторах представляют собой , которые все равны нулю кроме коэффициента с , стоящего перед . То есть данная линейная комбинация является собственным вектором.