2.2. Интерполяционный полином Лагранжа

Рассмотрим в начале n=1 (2.1):

.

Подставляя коэффициенты в , получим:

то есть полином представлен в виде суммы двух линейных функций, независящих от ординат, умноженных на ординаты и обладающих свойством:

.

В этом состоит идея построения интерполяционного полинома Лагранжа. Для произвольного значения n запишем интерполяционный полином в виде:

,

где полиномы степени не выше n, не зависящие от ординат, и обладающие следующими свойством: . Из равенства, следует, что имеет n корней (рассматриваются однократные корни).

где - коэффициент, который находится из условия. В результате интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

(2.2.1)

Достоинства интерполяционного полинома Лагранжа является простота конструкции. При заданном наборе абсцисс узловых точек и выбранной расчетной точке упрощается вычисления для различных ординат . Недостаток – добавление (n+1)-ого узла требует перерасчета всех слагаемых.

Погрешность вычисления: пусть – функция n+1 – раз дифференцируемая и – приближающий её интерполяционный полином.

,

где

Интерполяционный полином Лагранжа при линейных преобразованиях x = at + b (t- новая переменная) – сохраняет свой вид.