4.5. Квадратурные формулы Гаусса

Предварительно необходимо рассмотреть свойства полиномов Лежандра: - полином степени n, . Полиномы ортогональны, то есть: , где- символ Кронекера.

Имеют n корней на . Для любого полинома : , если k < n,

так как полином степени k представим в виде линейной комбинации полиномов Лежандра до степени k включительно.

Исходим из формулы общего вида:

Для произвольного отрезка замена переменных переводит его в отрезок , и квадратурная формула Гаусса имеет вид:

(4.5.1)

Потребуем, чтобы квадратурная формула была точна для полиномов максимальной степени , а, следовательно, должна быть точна для 1, t, …, t. Система уравнений: нелинейная.

Используем свойство полинома Лежандра: при k=0,1, …, n-1.

Равенство интеграла нулю возможно, если - корни полинома Лежандра, которые известны.

Полученные , подставляются в первые n уравнений системы для определения коэффициентов :

, .

Определитель системы – определитель Вандермонда  0 и система имеет единственное решение.

Оценка точности квадратурной формулы Гаусса проводится по формуле:

, где .