2.6. Алгебраические операции над различными математическими объектами

В математике изучают не только отношения, но и различные операции над различными математическими объектами. В качестве математических объектов можно перечислить: числа, множества, высказывания.

Для чисел: умножение, деление сложение, вычитание. Длямножеств: пересечение, объединение, вычитание. Надвысказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Операции над высказываниями и множествами появились в математике в XIX веке, и ввел их английский математик Дж. Буль [1815-1864] (булева алгебра). Операции над множествами ввел немецкий математик Г. Кантор. Оказалось, что операции над множествами и высказываниями обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел, но некоторые отличаются от свойств операций над числами. В XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, множеств, высказываний и другие.

Появилось общее понятие алгебраической операции. В математике вводятся понятия операций над элементами множества произвольной природы и изучаются свойства таких операций. Основная идея состоит в том, чтобы изучать не свойства конкретных элементов конкретных множеств, а свойства операций над этими элементами. Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задаётся с помощью формулы алгебры множеств.

Например,A(ВC), (X\Y)Z – формулы алгебры множеств.

Пример 22.

Дано три множества М = {7, 2, 3, 5}, N = {1, 2, 4, 7, 9},

K = {6, 7, 9}.

Найти:

X=(MN)(MK)\(NК)(N\K).

Z=(NM)(MK)\(KN)(N\K).

Решение.

1) MN= {7, 2};

2) MК = {7};

3) NК={7, 9};

4) MK={2, 3, 5, 6, 7, 9};

5) NМ= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9};

6) KN={1, 2, 4, 6, 7, 9};

7) N\K={1, 2, 4}.

X=(MN)(MK)\(NК)(N\K)={1, 2, 4}.

Z=(NM)(MK)\(KN)(N\K)={1, 2, 3, 4,5}.