6.4. Некоторые статистические распределения

При обработке статистических данных результаты сравнивают со статистикой, результаты которой известны. С помощью такой статистики можно получить информацию о случайной величине из выборки. В результате, только на основании выборочных данных можно получить случайную величину с известным законом распределения. Многие важные статистики распределены по специальным законам. К ним относятся:

• Распределение ²« Хи – квадрат».

• Распределение Стьюдента.

6.4.1. ²– распределение

Пусть ₁,₂,…,_k– независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону – N (0,1), т.е. математическое ожидание равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно единице. Сумма квадратов этих случайных величин равна:

Сумма квадратов этих случайных величин в (6.6) распределена по закону ²«Хи – квадрат» с k=n степенями свободы.

Эту случайную величину обозначают ²(k):

.

Если случайную величину принять за х, то можно записать:

Если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например:

,

то число степеней свободы k = n – 1. Среднее значение равно:

.

Свойства ²–распределения:

1. Случайная величина ²(k) имеет нулевую плотность распределения при х ≤ 0, так как данная величина есть сумма квадратов и всегда положительна.

2. При большом числе степеней свободы k распределение ²(k) близко к нормальному. В этом случае математическое ожидание случайной величины распределенной по закону²(с k степенями свободы) равно k: