4.5. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез: Р(H₁), Р(H₂), ..., Р(H_n) и условные вероятности: Р(А/H₁), Р(А/H₂), ..., Р(А/H_n).

Требуется найти вероятность Р(А).

Теорема 8.Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

Так как события H_iнесовместны, то несовместны и события АH_i.

Выражение (4.13) называется формулой полной вероятности.

Пример 15.

В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов. В первой группе 5 отличников, во второй 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником?

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что вызванный наугад студент оказался отличником. Пусть события H₁, H₂означают гипотезы (предположения), что студент соответственно из первой или из второй группы.

Вероятность гипотез, что студент соответственно из первой или второй группы: Р(H₁)=р₁=20/50=0,4. Р(H₂)=р₂=30/50=0,6. Проверка: р₁+р₂=1.

Вероятность того, что выбранный студент – отличник учится в первой или второй группе по условию задачи: Р(А/H₁) = 5/20 = 0,25. Р(А/H₂) = 6/30 = 0,2.

Вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником по формуле полной вероятности (4.13):

Р(А) = Р(H₁)Р(А/H₁)+Р(H₂)Р(А/H₂) = 0,40,25 + 0,60,2 = 0,1 + 0,12 = 0,22.

Эту задачу можно решить по формуле (4.1). Всего в двух группах 50 студентов, из них 11 отличников. Р(А) = 11/50=0,22.

Однако эта задача простая и в ней можно проверить решение по элементарной формуле (4.1). Формула (4.13) применяется в сложных задачах, а также используется в задачах, где следует найти вероятность одной из гипотез при условии, что событие А уже произошло.