1.2. Аксиоматическое построение математической теории
При аксиоматическом способе построения какой-либо математической теории соблюдаются следующие правила:
Некоторые понятия теории выбираются в качестве основныхи принимаются без определения.
Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.
Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.
Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремамии доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.
Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага:
Первый шаг: Задаётся некоторое множество первичных понятий (терминов).
Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
Третий шаг: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
Четвёртый шаг: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
Таким образом, выстраивается алгоритм аксиоматического построения теории:
Первичные понятия.
Аксиомы.
Определения.
Теоремы.
Соответственно можно на примерах рассмотреть какое утверждение в математике относится к одной составляющей из выше приведенного списка.
Примеры первичных понятий.
К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся: точка, прямая, плоскость.
Примеры аксиом.
Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Примеры определений.
Определение 1: Высказывания, данные через первичные неопределяемые понятия или через некоторые другие ранее известные утверждения, называются определениями.
Определение 2: Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются аксиомами.
Определение 3: Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях, выведенные чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений, называются теоремами.
Определение 4: Простым числом называется такое натуральное число, больше единицы, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.
Примеры теорем.
Теорема 1. Если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.
Теорема 2. Диагонали у прямоугольника равны.
Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, по названым выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно. При аксиоматическом построении теории, по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом.
Главным требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, чтобы, сделав вывод теорем на основе этих аксиом, доказанные теоремы не противоречили друг другу. Система аксиом должна бытьполнойинезависимой, При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Большинство интерпретаций для математических теорий (в частности, для арифметических) строятся на базе теории множеств. Поэтому очень важно, чтобы теория множеств была непротиворечивой. Аксиоматическая теория основных структур математики является инструментом, с помощью которого раскрывается теоретико-множественный смысл каждого понятия.
Yandex.RTB R-A-252273-3- Математика и информатика
- Содержание
- Часть 1. Основания математики Глава 1. Понятийный аппарат аксиоматического метода
- 1.1. Понятие аксиоматического метода
- 1.2. Аксиоматическое построение математической теории
- 1.3. Вопросы для самоконтроля по теме «Аксиоматический метод»
- Глава 2. Основные понятия теории множеств. Основные структуры
- 2.1. Понятие множества
- 2.2. Способы задания множеств
- 2.3. Алгебра множеств
- 2.3.1. Отношения между множествами
- 2.3.2. Операции над множествами
- 2.3.3. Алгебраические свойства операций над множествами
- 2.3.4. Геометрическая интерпретация операций над множествами
- 2.4. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения
- 2.5. Символический язык логической структуры математических предложений
- 2.6. Алгебраические операции над различными математическими объектами
- 2.7. Вопросы для самоконтроля по теме «Теория множеств»
- Глава 3. Структуры на множестве. Комбинаторика
- 3.1. Перестановки
- 3.2. Размещения
- 3.3. Сочетания
- 3.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Комбинаторика»
- Часть 2. Основы теории вероятностей Глава 4. Случайные события
- 4.1. Основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий
- 4.2. Алгебра случайных событий
- 4.3. Определение вероятности
- 4.3.1. Классическое определение вероятности
- 4.3.2. Аксиомы теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности
- 4.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- 4.4.1. Сложение вероятностей несовместных событий
- 4.4.2. Умножение вероятностей независимых событий
- 4.4.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- 4.4.4. Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность
- 4.4.5. Сложение вероятностей совместных событий
- 4.5. Формула полной вероятности
- 4.6. Формула Байеса
- 4.7. Вопросы для самоконтроля по теме «Основы теории вероятностей»
- Глава 5. Случайные величины
- 5.1. Понятие случайной величины
- 5.2. Дискретная случайная величина
- 5.2.1. Закон распределения дискретной случайной величины
- 5.2.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- 5.3. Непрерывная случайная величина
- 5.3.1. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- 5.3.2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- 5.3.3. Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин
- 5.3.4. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- 5.3.5. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины
- 5.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Случайная величина»
- Часть 3. Элементы математической статистики Глава 6. Статистические оценки параметров распределения
- 6.1. Предмет и задачи математической статистики
- 6.2. Выборочный метод
- 6.2.1 Полигон и гистограмма
- 6.2.2. Эмпирическая функция распределения
- 6.3. Статистические оценки параметров распределения
- 6.4. Некоторые статистические распределения
- 6.4.2. Распределение Стьюдента
- 6.5. Интервальные оценки
- 6.5.1. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины
- 6.5.2. Доверительные интервалы для математического ожидания при известной дисперсии
- 6.5.3. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- 6.5.4. Доверительные интервалы для математического ожидания при неизвестной дисперсии
- Глава 7. Проверка статистических гипотез
- 7.1. Понятие и классификация статистических гипотез
- 7.2. Общая схема проверки гипотез
- 7.3. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения
- 7.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Элементы математической статистики»
- Часть 4. Алгоритмизация и программирование Глава 8. Основы алгоритмизации
- 8.1. Понятие и свойства алгоритма
- 8.2. Таблица блоков
- 8.3. Линейные алгоритмы
- 8.4. Ветвления
- 8.5. Циклы. Повтор с заданным количеством циклов
- 8.6. Вопросы для самоконтроля по теме «Алгоритмизация»
- Глава 9. Программирование на Паскале
- 9.1. Конструкция языка Turbo-Pascal
- 9.1.1. Алфавит
- 9.1.2. Данные и типы данных
- 9.1.3. Стандартные функции
- 9.1.4. Арифметические, логические, символьные выражения
- 9.2. Структура программы на языке Паскаль
- 9.3. Основные операторы Паскаля
- 9.3.1. Оператор присваивания
- 9.3.2. Операторы ввода
- 9.3.3. Операторы вывода
- 9.3.4. Комментарий
- 9.4. Программы линейных алгоритмов
- 9.5. Операторы передачи управления
- 9.5.1. Оператор безусловного перехода
- 9.5.2. Операторы условного перехода
- 9.5.3. Оператор выбора варианта
- 9.6. Разветвляющийся алгоритм
- 9.7. Операторы цикла
- 9.8. Программы циклических алгоритмов
- 9.9. Массивы
- 9.9.1. Понятие и описание массива
- 9.9.2. Ввод и вывод элементов массивов
- 9.9.3. Операции с массивами
- 9.10. Вопросы для самоконтроля по теме «Программирование»
- Литература
- Приложениe 1
- Приложениe 2
- Приложениe 3
- Математика и информатика учебное пособие