6.5.1. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения случайной величины

Доверительным называют интервал (^*–,^*+), который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью, где,^*– статистическая характеристика, найденная по данным выборки, которая служит оценкой неизвестного параметра. Отклонение неизвестного параметраот его оценки^*задаётся величиной положительной>0,так как их разность задаётся по модулю |–^*| <. Чем меньше отклонение, тем точнее оценка. Рассмотрим нахождение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины. Из теории вероятностей интервальные вероятности для нормального распределения N(a,) определяются формулой (5.20):

где t = /.

Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней. Выборочную среднюю можно рассматривать как случайую величину, которая изменяется от выборки к выборке.

Из теории вероятностей дискретной случайной величины известны положения для числовых характеристик среднего арифметического. В частности:

1. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:

.

2. Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин соответственно равно:

.

Заменив в (6.9) случайую величину Х на выборочную среднююx,на

можно (6.9) переписать в виде:

где:

.

Можно найти отклонение неизвестного параметра от его оценки:

Если в (6.9а) рассмотреть неравенство , то из него можно выразить неизвестное математическое ожидание а:

Если в (6.11) подставить вместо значение из (6.10), то получим доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины.

Вероятность

определяется законом нормального распределения, если известна дисперсия D=².

Если дисперсия неизвестна, а лишь подсчитано ее несмещённое значение

,

то вероятность

определяется законом распределения Стьюдента со степенями свободы k = n–1. С увеличением степеней свободы k, то есть с увеличением объема выборки, распределение Стьюдента стремится к нормальному.