2.1. Понятие множества

Главные математические понятия: точка, прямая, множество, функция, вектор, уравнение, отношение и т.д. образуют основания математики. В каждом разделе математики используется какое-то понятие из оснований математики. Понятия: натуральные числа, целые или вещественные числа, геометрические фигуры, числовые функции и т.д. называют множествами. Понятие множества является фундаментальным понятием математики. Если обратиться к первой главе, то можно это понятие по правилам аксиоматического построения теории отнести к первичным, для которых нет определений. Обычно слово «множество» связывают с большим числом предметов. Например: множество дорог, машин, газет, учащихся школ, студентов вузов. В отличие от обыденных представлений «множество» как производное от слова «много», в математике можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта или не содержащее ни одного объекта.

В 1872 г. Георг Кантор, создатель теории множеств, определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью». Понятие множества аналогично определениям совокупности, собрания, класса, семейства и т.д. Математическое понятие множества постепенно выделилось из выше перечисленных представлений. Понятие числа относится к так называемым начальным понятиям, т.е. к понятиям, которые могут быть разъяснены, но не могут быть строго определены. Для числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел (дробь m/n,где m,n – целые числа);

R – множество вещественных (действительных чисел) чисел;

R+ – множество вещественных положительных чисел;

C – множество комплексных чисел.

Таким образом, можно сделать вывод:

Понятие «множество» является фундаментальным понятием математики и не имеет определения. Природа порождения любого множества разнообразна, в частности, окружающие предметы, живая природа и др.

Определение 1: Объекты, из которых образовано множество, называютсяэлементами данного множества. Для обозначения множества используют заглавные буквы латинского алфавита: например X, Y, Z, а в фигурных скобках через запятую выписывают его элементы строчными буквами, например: {x,y,z}.

Пример обозначения множества и его элементов:

X = {x₁, x₂,…, x_n} – множество, состоящее из n элементов. Если элемент x принадлежит множеству X, то следует записать: xX, иначе элемент x не принадлежит множеству X, что записывается: xX. Элементами абстрактного множества могут быть, например, числа, функции, буквы, фигуры и т.д. В математике в любом разделе используется понятие множества. В частности, можно привести некоторые конкретные множества вещественных чисел. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам:

• а ≤ x ≤ b называется сегментоми обозначается [a,b];

• а ≤ x < b или а < x ≤ b называется полусегментоми обозначается: [a,b) или (a,b];

• а < x < b называется интерваломи обозначается (a,b).

Определение 2: Множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным. Пример. X = {x₁, x₂, x₃}.

Определение 3: Множество называетсябесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Например, множество всех вещественных чисел бесконечно. Пример записи. X = {x₁, x₂, ...}.

Определение 4: Множество, в котором нет ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом.

Характеристикой множества является понятие мощности. Мощность – это количество его элементов. Множество Y={y₁,y₂,...} имеет ту же мощность, что и множествоX={x₁,x₂,...}, если существует взаимно однозначное соответствие y= f(x) между элементами этих множеств. Такие множества имеют одинаковую мощность или равномощны. Пустое множество имеет нулевую мощность.