2.3.2. Операции над множествами

Известно, что над числами можно производить следующие элементарные операции: сложение, умножение, вычитание. Над множествами вводятся аналогичные операции.

Определение 8: Объединением двух множеств называется третье множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств А и В обозначается:

AB = {x xA или xB}.

Пример 4. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда АВ = {1,2,3,4,5}. Таким образом, если элемент x принадлежит объединению АВ, то он может принадлежать или множеству А, или множеству В, или обоим этим множествам. Можно сформулировать иначе: xАВ тогда и только тогда, когда х есть элемент хотя бы одного из этих множеств. В последнем примере числа 1, 2 принадлежат множеству А. Числа 4, 5 принадлежат множеству В, число 3 принадлежит обоим множествам сразу. Графически объединение множеств А и В можно представить на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Объединение множеств А и В

Определение 9: Пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из элементов, общих для обоих множеств. Пересечение множеств обозначается: AB = {xxA и xB}.

Пример 5.

Пусть даны множества: А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда: АВ = {3}.

В результате можно сделать вывод, что:

• Пересечение множеств А и В включено во множество А, что записывается: ABA.

• Пересечение множеств А и В включено во множество В, что записывается: ABB.

• Пересечение множеств А и В включено в объединение множеств, что записывается:ABAB.

Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. В этом случае множества не пересекаются и их пересечение – пустое множество.

Пример 6. Пусть А = {7,9,5}, В = {2, 4,6}. Тогда АВ =.

Пересечение множеств А и В графически можно представить на рис. 2.2 (затенённая область).

Рис. 2.2. Пересечение множеств А и В

Свойства пересечения множеств:

1. A=.

2. AA=A.

3. AB=BA.

4. A(BC)=(AB)C=ABC.

5. ABAB=A.

Определение 10: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В. Обозначается:

A\B = {x xA ; xB}.

Пример 7. Пусть А = {1, 2, 3, 4}; В = {3, 4, 5, 6}.

Тогда А\В = {1, 2}; В\А= {5, 6}.

Разность множеств А и В графически можно представить на рис. 2.3 (затенённая область):

Рис. 2.3. Разность множеств А\В

Если рассматриваемое множество В является подмножеством некоторого фиксированного множества А, то разность А\В называется дополнением множества В или дополнением до А множества В.

Определение 11: Разбиением множества Х называется такая расчленённая система Y непустых подмножеств множества Х, что каждый элемент множества Х является элементом некоторого множества системы Y.

Пример 8. Множество Y={{7,5}, {3,4}, {9,6}, {17,8}} есть результат операции разбиения множества X = {7, 5, 3, 4, 9, 6, 17, 8}. Данная операция позволяет образовать новое множество Y из одного существующего множества X. Можно выделить такое множество, что все рассматриваемые предметы являются его элементами. Такое множество называетсяуниверсальным. Обычно универсальное множество обозначается через U.

Дополнением множества Аназывается множествоА, состоящее из элементов множества U, не являющихся элементами множества А:

А ={x | xU;xA}.

На диаграммах универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Универсальное множество U

Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением множества А.

Обозначается:A=U\A (затенённая область рис. 2.5).

Рис. 2.5. Разность U\A