1.1. Понятие аксиоматического метода

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства как верное.

Аксиоматический метод– способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. Аксиоматический метод позволяет получить выводы по данной теории в виде теорем, используя аксиомы и ранее доказанные теоремы.

Исторические подробности.В III в. до н.э. Евклид применил аксиоматический метод в геометрии. После III в. до н.э. геометрия развивалась очень медленно, так как требовались новые идеи и методы. Уже в те времена требовалось развитие понятия числа и других понятий алгебры. Первые попытки в этом направлении были сделаны в работах Диофанта (Греция, III в. н.э). Позже в Индии были открыты: десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные числа. В IX в. дальнейшее развитие получила алгебра. В конце XI в. было дано определение числа как отношения любых величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа. Французский философ и математик Рене Декарт [1596-1650] в своём труде «Геометрия» (1637г.) впервые представил метод координат на плоскости, этим самым установив взаимосвязь геометрии с алгеброй.

Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически стройного построения геометрии, так как аксиоматически построенная теория должна удовлетворять конкретным математическим требованиям. Эти требования заставили обратить внимание математиков на пятый постулат геометрии Евклида (аксиома параллельности). Однако попытки пересмотреть пятый постулат геометрии Евклида, которые длились в течение более тысячи лет, были безуспешными. В начале ХIХ века учёные предположили идею существования геометрии, отличающейся от евклидовой. Русский ученый Николай Иванович Лобачевский [1792–1856 гг.] полностью решил проблему независимости аксиомы параллельности от других аксиом евклидовой геометрии и показал, что аксиомы могут подвергаться изменению. В результате появилась новая теория, которую стали называть геометрией Лобачевского. Немецкий математик Георг Риман [1826-1866] занимался дальнейшим развитием неэвклидовой геометрией, по его теории пространство Евклида и Лобачевского рассматривались как частные случаи более общего, риманова пространства.

Дальнейшее развитие аксиоматического метода было вызвано исследованием понятия натурального числа. Во второй половине ХIХ века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика ХIХ века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Была предложена аксиоматика, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности. Большое внимание на исследование природы натурального числа оказала и созданная в ХIХ веке теория множеств.