2.3.3. Алгебраические свойства операций над множествами

После изучения операций над множествами следует рассмотреть свойства этих операций и связи между ними. Эти свойства во многом аналогичны свойствам обычных операций сложения и умножения чисел. Свойства записываются в виде тождеств и не зависят от того, каково универсальное множество U и какие именно конкретные его подмножества в них фигурируют. Далее формулируются основные свойства объединения и пересечения.

Для любых подмножеств А, В, С универсального множества U справедливы следующие тождества, которые приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Каждое из этих тождеств можно доказать, показав, что множество, стоящее по одну сторону тождества включено во множество, стоящее по другую сторону. Если:

1. Операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел.

2. Операции пересечения поставить в соответствие операцию умножения чисел.

3. Универсальному множеству U поставить в соответствие единицу.

4. Пустому множеству поставить в соответствие нуль, то возникает аналогия между множествами и числами.

Закон коммутативности для множеств в табл. 2.1 аналогичен переместительному закону для чисел:

1a

a+b=b+а;

1b

a b = bа;

Закон ассоциативности для множеств в табл. 2.1 аналогичен сочетательному закону для чисел:

2a

a+(b+c)=(a+b)+c;

2b

a (bc) = (ab)c.

Закон дистрибутивности 3б) для множеств в табл. 2.1 аналогичен распределительному закону для чисел: a (b+c) = ab+ac.

Закон дистрибутивности 3а) для множеств нарушается для чисел.

Десять свойств, сформулированных в этом разделе, являются фундаментальными в том смысле, что все остальные свойства операций над множествами непосредственно следуют из них.