7.2. Общая схема проверки гипотез

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближённое распределение которой известно, обозначают её через Z, если она распределена нормально, T – по закону Стьюдента, ² – по закону «хи–квадрат». Данная специально подобранная случайная величина называется статистическим критерием или критерием значимости, который в дальнейшем будет обозначаться через Z. Статистический критерий служит для проверки нулевой гипотезы.

Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия принимают отношение исправленных выборочных дисперсий. Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и получают наблюдаемое значение критерия. Наблюдаемым значением критерия Z_наблназывают значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если по двум выборкам найдены выборочные дисперсии d₁=27; d₂=9, то наблюдаемое значение критерия равно отношению большей исправленной дисперсии к меньшей:Задачу проверки гипотез можно сформулировать следующим образом.

1. Требуется найти случайную величину Z, которую ещё называют статистикой критерия, удовлетворяющую двум основным требованиям:

а) Значение критерия можно посчитать только на основании выборки.

б) Распределение критерия известно в предположении, что нулевая гипотеза верна.

2. После поиска или выбора статистики находится критическая область. На числовой оси выделяется область, попадание в которую для случайной величины маловероятно. Малая вероятность задаётся, как и в доверительных интервалах, малым числом – , которое называют уровнем значимости. Вероятность совершить ошибку первого рода (вероятность отвергнуть правильную гипотезу) равна– уровню значимости.

Критическойобластьюназывают совокупность значений критерия Z, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотез называют совокупность значений критерия Z, при которых нулевую гипотезу принимают.

Критическимиточками(границами) – z_kpназывают точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают три вида критической области:

• правосторонняя, определяемая неравенством Z > z_kp> 0;

• левосторонняя, определяемая неравенством Z < z_kp< 0;

• двусторонняя, определяемая неравенством Z< -z_{кр ;} Z>z_кр.

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенством Z> z_kp> 0. При отыскании критической области задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимостии ищут критические точки, исходя из требования, чтобы вероятность того, что критерий Z примет значения, лежащие в критической области, была равна принятому уровню значимости. В результате получают:

• для правосторонней критической области:

  P (Z > zkp) =;

  (7.1)

• для левосторонней критической области P (Z < z_kp) =;

• для двусторонней симметричной области P (Z > z_kp) =/2 .

Основной принцип статистической проверки гипотез заключается в следующем:

• Если наблюдаемое значение критерия Z_набл, вычисленное по данным выборки, принадлежит критической области, то гипотезу отвергают.

• Если наблюдаемое значение не принадлежит критической области, то нет оснований отвергать гипотезу.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, позволяющие по найти критические точки z_kp, удовлетворяющие требованию (7.1).