4.4.4. Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность

Условной вероятностью, которая обозначается Р_A(В) или Р(В/А), называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема 6.Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Пример 12.

Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому он не подготовился. Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет. Какова вероятность того, что студенту во второй попытке достанется один из подготовленных билетов.

Решение.

Обозначим событие «студент взял билет, к которому он не подготовился» через A. Обозначим событие «студенту достанется во второй попытке один из подготовленных билетов» через B.

Обозначим событие (АВ/A) – взять первый билет, к которому он не подготовился, и второй из подготовленных билетов при условии, что, что первое событие уже произошло. Вероятность взять первый билет, к которому студент не подготовился:. Вероятность взять второй из подготовленных билетов при условии, что студент взял первый билет, к которому он не подготовился:.

В результате, вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов, вычисляется по формуле (4.9):

.

Условная вероятность события А_k, определенная в предположении, что осуществились события А₁,А₂,…А_k-1, обозначается:P(A_k/A₁A₂...A_k-1).

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Пример 13.

Студенту во время компьютерного тестирования по одной из тем предлагается тест из 10 вопросов. Итог тестирования показал, что семь из них он знает и три ему не знакомы. Студент выбирал правильный ответ на каждый вопрос из предлагаемого списка. Последовательность вывода на экран вопросов случайна. Найти вероятность того, что студент ответил правильно на первые три вопроса.

Решение.

Введем обозначения событий:

А – студент ответил правильно на первый вопрос теста.

В – студент ответил правильно на второй вопрос при условии, что студент ответил правильно на первый вопрос.

С – студент ответил правильно на третий вопрос при условии, что студент ответил правильно на первый и второй вопрос.

Вероятность того, что студент ответил правильно на первый вопрос теста:

Р(А) = 7/10.

Вероятность того, что студент ответил правильно на второй вопрос при условии, что он ответил правильно на первый вопрос, т.е. условная вероятность события В следующая: Р(В/А) = 6/9 = 2/3.

Вероятность того, студент ответил правильно на третий вопрос при условии, что студент ответил правильно на первый и второй вопрос. Условная вероятность события С равна:

Р(С/АВ) = 5/8 .

Искомая вероятность того, что студент ответил правильно на первые три вопроса: .