6.5.4. Доверительные интервалы для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия неизвестна. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.

Во-первых, по данным выборки объёмом nможно найти исправленную выборочную дисперсиюs², используя (6.17).

Во-вторых, по данным выборки можно строить случайную величину, которая имеет распределение Стьюдента с k = n–1 степенями свободы, используя формулу (6.8):

Если сравнить распределение Стьюдента по данным выборки (6.18) с (6.8), то следует отметить, что в (6.18):

1. За случайную величину принята разность (), которая является отклонением неизвестного математического ожидания а от среднего выборочного.

2. За ²принимается исправленная выборочная дисперсия s².

Если в числителе (6.18) заменить разность () на, то (6.18) можно записать в виде:

Из уравнения (6.19) можно найти – отклонение неизвестного математического ожидания от среднего выборочного:

Из уравнения (6.18) можно найти неизвестное математическое ожидание, если известно значение случайной величины t_, по (6.19), где индекс переменной указывает на особенность задачи с использованием понятия надёжностив отличие от (6.8). Математическое ожидание записывается в виде доверительного интервала, подставив отклонениеиз выражения (6.20) в неравенство (6.11):

Если задаться значением надёжности , то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического ожидания, который строится по аналогии с (6.15):

Из уравнений (6.8) и (6.19) видно, что распределение Стьюдента определяется параметром n – объёмом выборки (числом степеней свободы k=n–1) и не зависит от неизвестных параметров а и . Эта особенность является его большим достоинством.

Можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если неизвестна дисперсия D = ²:

1. Задают значение надёжности в формуле (6.22) – .

2. Находят значение t_, пользуясь таблицей Приложения 2 по значениям k и уровню значимости= 1–, выбрав верхний вариант: [Уровень значимости(двусторонняякрит. область)].

3. Из уравнения (6.20) находят отклонение неизвестного математического ожидания от среднего выборочного – .

4. Строится доверительный интервал по (6.21) или (6.11), содержащий неизвестное математическое ожидание с вероятностью .

Пример 6.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. По выборке объёма n=61 найдена выборочная средняяx=30 и исправленное среднее квадратическое отклонение s = 1,5. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью=0,95 неизвестного математического ожидания –а.

Решение. Дано по условию задачи:

1. Исправленное среднее квадратическое отклонение s = 1,5.

2. Выборочная средняяx=30.

3. Надёжность = 0,95;

4. Объём выборки n = 61.

Пользуясь таблицей приложения 2 по значениям k = n – 1 = 60 и уровню значимости = 1 –= 1–0,95 = 0,05 находим значение t_=2,00.

Вычисляем по формуле (6.20):

Полученное значение подставим в формулу доверительного интервала (6.11): 30 – 0,387 < a < 30+ 0,387.

Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с надёжностью = 0,95 равен: 29,613 < a < 30,387.