6.5.2. Доверительные интервалы для математического ожидания при известной дисперсии

Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение этого распределения известны. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней. В данном случае задача сводится к нахождению доверительного интервала для математического ожидания с надёжностью. Если задаться значением доверительной вероятности (надёжности), то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического ожидания, используя формулу (6.9а):

где – вероятность покрытия математического ожидания а доверительным интервалом.

Если приравнять правые части (6.9а) и (6.13), то получим:

где Ф(t) – функция Лапласа (5.17а).

В результате можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если известна дисперсия D = ²:

1. Задать значение надёжности – .

2. Из (6.14) выразить Ф(t) = 0,5. Выбрать значение t из таблицы для функции Лапласа по значению Ф(t) (см. Приложение 1).

3. Вычислить отклонение по формуле (6.10).

4. Записать доверительный интервал по формуле (6.12) такой, что с вероятностью выполняется неравенство:

Пример 5.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Найти доверительные интервалы для оценки с надежностью = 0,96 неизвестного математического ожидания а, если даны:

1) генеральное среднее квадратическое отклонение = 5;

2) выборочная средняя ;

3) объём выборки n = 49.

Решение.

В формуле (6.15) интервальной оценки математического ожидания ас надёжностьювсе величины, кроме t, известны. Значение t можно найти, используя (6.14):= 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.

По таблице Приложения 1 для функции Лапласа Ф(t) = 0,48 находят соответствующее значение t = 2,06. Следовательно, . Подставив в формулу (6.12) вычисленное значение, можно получить доверительный интервал: 30-1,47 < a < 30+1,47.

Искомый доверительный интервал для оценки с надёжностью = 0,96 неизвестного математического ожидания равен: 28,53 < a < 31,47.