logo search
конспекты уроков по геометрии

II. Решение задач.

1. Решить задачу 1. Докажите, что площадьSтреугольникаАВСвычисляется по формуле:

,

где Р– периметр треугольника,r– радиус вписанной окружности.

Доказательство

Пусть О– центр окружности, которая вписана в треугольникАВСи, следовательно, касается сторон треугольника в точкахМ,NиK.

Очевидно, что S=SАОС+SВОС+SАОВ. *

Так как ОМ,ОNиОK– высоты треугольниковАОС,ВОСиАОВ, то

SАОС=АС ·ОK,

SВОС=ВС ·ОМиSАОВ=АВ ·ОN.

Подставив эти значения в формулу *, получим: S=(AB+BC+CA) ·r=P·r.

2. Решить задачу 2.даны стороны треугольникаАВС – а,b,си площадьS. Выразить радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, череза,b,сиS.

Решение

1) Используем результат задачи 1:

S=Pr, гдеР– периметр треугольника,r– радиус вписанной окружности.Р=а+b+с; 2S=r (а+b +c), отсюда:

2) Радиус Rописанной окружности вычисляется по формуле:

R=, где– угол, противолежащий сторонеа.

Из формулы: S=bc· sinполучим sin=, тогда 2sin =. Следовательно,R=.

3. Решить задачу № 1099 на доске и в тетрадях.

Решение

Диагонали А3А7иА4А8четырехугольникаА3А4А7А8являются диаметрами окружности, в которую вписан данный восьмиугольник, поэтому они равны и точкой пересеченияОделятся пополам. Следовательно, четырехугольникА3А4А7А8– прямоугольник. Так как уголА3ОА4= 45°, то согласно задаче 1059 площадь прямоугольника равнаR2.

4. Решить задачу № 1105 (в)(объясняет учитель).

Решение

Пусть АВС– данный треугольник, уголС= 90°, уголВ=,АВ=с,ВС=а,СА=b;Р=а+b+с,r– радиус вписанной окружности. Тогдаа=с· cos,b=c · sin.

Воспользуемся двумя формулами для вычисления площади SтреугольникаАВС(метод площадей):

. Отсюда, получаем,

r=, поэтомуC= 2πr=.

Умножив числитель и знаменатель дроби на cos  + sin – 1, после несложных преобразований получаем:c=πc (sin  + cos  – 1).

5. Решить задачу № 1117 (в).

решение

Применим метод площадей, то есть воспользуемся двумя формулами для вычисления площади треугольника:

S=absinиS=Pr, гдеаиb– длины сторон треугольника,– угол между ними,Р– периметр,r– радиус вписанной окружности. Получим:

S=a2 sin иS=r ·а.

Отсюда находим r, а затем площадь круга:

Sкруга=.

6. Решить задачи № 1110, 1138, 1116 (в).

Примечание. решения некоторых из них полезно предварительно обсудить, а затем записать в тетрадях, остальные задачи учащиеся могут решить самостоятельно с последующей проверкой ответов или решений.