IV. Решение задач.

1. Решить задачу № 1004.

Решение

Достаточно доказать, что данные прямые не имеют ни одной общей точки. Для этого запишем уравнения данных прямых так: y= 2x+иy= 2x– 3. Ясно, что эта система несовместна, то есть нет чиселх,у, удовлетворяющих этим двум уравнениям. Геометрически это означает, что данные прямые не имеют ни одной общей точки и, значит, они параллельны.

2. Решить задачу № 1007.

Решение

Пусть ОАВС– данная трапеция с основаниямиОА=аиВС=b(пустьа>b) и высотойh. Введем прямоугольную систему координатОХYтак, чтобы точкаАлежала на положительной полуосиОХ, а прямаяВСпересекала положительную полуосьОY. В этой системе координат вершины трапеции будут иметь координатыО(0; 0),А(а; 0),С(с;h) иВ(с+b;h), гдес– некоторое число. Находим координаты серединМиNдиагоналей трапеции и вычисляем расстояние между ними:MN=. Таким образом,MN=(OA–BC).

3. Решить задачу № 1010 (а).

Решение

Введем систему координат так, чтобы точки АиВимели координатыА(0; 0),В(а; 0), гдеа=АВ. ПустьМ(х;у) – произвольная точка. Условие 2АМ²–ВМ²= 2АВ², записанное в координатах, дает уравнение искомого множества. Оно приводится к виду:

(х+а)²+у²= (2а)².

Этим уравнением задается окружность радиуса 2ас центром в точке (–а; 0), то есть в точке, симметричной точкеВотносительно точкиА.