logo
конспекты уроков по геометрии

III. Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить устно задачу № 1201, используя модель тетраэдра.

Ответ: нет.

2. Решить задачу № 1202 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Прямая MN принадлежит плоскости ВСD, которая пересекается с плоскостью АВС по ВС. Продолжим ВС до пересечения с прямой MN в точке х.

Точка х принадлежит и прямой MN, и плоскости АВС, так как точка х лежит на прямой ВС, принадлежащей плоскости АВС.

3. Решить задачу № 1203 самостоятельно.

Затем по готовому чертежу на доске проверяется построение сечения.

Решение

По условию МА = NА. Проводим отрезок AL, так как точки L и A принадлежат одной плоскости MNL. Проводим отрезок АK, так как точки K и А принадлежат одной плоскости MKN. Искомое сечение – треугольник AKL.

4. Решить задачу № 1204.

Решение объясняет учитель, привлекая к обсуждению построения сечения учащихся.

Решение

1) Проводим прямую MN, продолжаем АВ до пересечения с прямой MN в точке х.

2) Точка х принадлежит плоскости АВС, и точка K принадлежит плоскости АВС, тогда проводим прямую хK, пересекающую прямые ВС и АС в точке Р и Н соответственно.

3) Проводим отрезки МР, NН и РН.

Четырехугольник РМNН – искомое сечение.

5. Решить задачу № 1206.

Решение

Докажем, что

,

где Р – периметр основания; l – апофема правильной пирамиды.

Найдем сумму площадей боковых граней правильной пирамиды. Так как боковыми гранями правильной пирамиды являются равные равнобедренные треугольники и площадь треугольника равна a ∙ l, то сумма площадей всех треугольников равна

,

где а – сторона основания правильной пирамиды, n – количество сторон основания, l – апофема.

Значит, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна

S = Pl.

6. Решить задачу № 1241.

Дано: АВСDK – пирамида;

АВСD– параллелограмм;

АD = 5 м; DС = 4 м; ВD = 3 м;

KО = h = 2 м.

Найти:.

Решение

1) Δ АВD = Δ СDВ (III признак, по трем сторонам). По формуле Герона найдем площадь треугольника:

,

где p =– полупериметр.

p== 6 (м);

S = = 6 (м2).

SАВD = SСDВ = 6 м2, тогда площадь основания равна

Sосн = 2 ∙ 6 = 12 (м2).

Другой способ: треугольник со сторонами 3 м, 4 м и 5 м будет прямоугольным, тогда

SАВD = ∙ 3 ∙ 4 = 6(м2),

то Sосн = 2 ∙ 6 = 12 (м2).

2) KО ОD; ВО = ОD = 3 : 2 = 1,5 (м).

По теореме Пифагора из Δ KОD найдем KD : KD2 = KО2 + ОD2

KD== 2,5 (м).

Значит, KD = KВ = 2,5 м.

3) Воспользуемся выводом задачи 953 (с. 240 учебника): «Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей» – и найдем диагональ АС параллелограмма АВСD:

АС2 + ВD2 = 2АD2 + 2DС2;

АС2 + 32 = 2 ∙ 52+ 2 ∙ 42;

АС2 + 9 = 50 + 32;

АС2 = 73;

АС=(м).

4) AO = OC =(м), по теореме Пифагора изΔ АОK найдем АK:

AK2 = AO2 + KO2;

AK=(м);

AK = KC =м.

5) По условию KО ОD и ОD DС, значит, KD DС (если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то прямая перпендикулярна и наклонной). Значит, Δ KDС – прямоугольный.

SKDС = KD ∙CD=∙ 2,5 ∙ 4 = 5 (м2).

Δ KDС = Δ KВА (по двум катетам), тогда SКDС = SКВА = 5 м2.

6) По теореме Пифагора можно было бы из Δ KDС найти KС (другой способ):

KC == =(м).

7) По формуле Герона найдем площадь Δ АKD:

p =.

S==

==

==

==

=(см2).

8) SАKD = SВKС = см2, так как Δ АKD = Δ ВKС (по трем сторонам).

9) =SАBCD + 2SKDC + 2SАKD = 12 + 10 + 2= 22 + 2(см2).

Ответ: 22 + 2(см2).

7. Решить задачу № 1242.

Решение

V = Sосн ∙ h;

площадь правильного (равностороннего) треугольника находится по формуле

,

где а – сторона треугольника (задача 489 на с. 132 учебника).

а= 13 см, тогда

(см2).

h= 12 см. Найдем объем правильной треугольной пирамиды:

V = ∙ 12 = 169(см3).

Ответ: 169см3.