Векторы. Метод координат. Движения

Основные вопросы программы: вектор, длина вектора, сложение векторов и его свойства, умножение вектора на число и его свойства, коллинеарные векторы, прямоугольные координаты точек на плоскости, формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами, координаты середины отрезка, уравнения окружности и прямой, применение векторов и метода координат к доказательству теорем и решению задач. Движения.

Задачи

1. Четырехугольник АВСDзадан координатами своих вершин:А(–3; –2),В(–1; 2),С(2; 2),D(4; –2).

1) Найдите координаты середин сторон этого четырехугольника.

2) Докажите, что середины сторон четырехугольника АВСDявляются вершинами ромба, и найдите площадь этого ромба.

2. Дан четырехугольник АВСD.

1) Определите вид четырехугольника АВСD, если, и выразите векторчерез векторыи.

2) Выразите векторы через векторыи, еслиМ,N,РиQ– середины сторонАВ,ВС,СDиАD.

3) Определите вид четырехугольника МNPQ.

3. Дан правильный шестиугольник АВСDЕFсо сторонойа. Найдите скалярное произведение векторов: 1); 2); 3); 4).

4. Найдите косинусы углов треугольника АВС, еслиА(1; 3),В(8; 2),С(5; –1).

5. В параллелограмме АВСDдиагональВD равна сторонеВС, точкаМ– середина стороныВС, отрезокDМперпендикулярен к диагоналиАС. Найдите углы параллелограмма.

6. Две окружности радиуса rс центрамиО₁иО₂касаются друг друга в точкеМ. На первой окружности отмечена точкаА, а на второй – точкаВтак, что хордыАМиВМвзаимно перпендикулярны. Докажите, что: 1) при параллельном переносе на векторотрезокАСотображается на отрезокВМ; 2)АВ= 2r.

7. На сторонах правильного треугольника построены квадраты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами правильного треугольника.