1.5. Неперервність функції

Функція називається неперервною в точці , якщо виконані наступні три умови:

1) функція визначена в точці і у її околі,

2) існує скінченна границя ,

3) ця границя дорівнює значенню функції в точці , тобто .

Функція називається неперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Точка , у якій не виконана хоча б одна із трьох умов неперервності, називаєтьсяточкою розриву функції. Так, наприклад, всі точки, що не належать області визначення функції є точками розриву.

Всі точки розриву функції розділяють на точки розриву першого і другого роду.

Точка розриву називається точкою розриву першого роду функції , якщо в цій точці існують скінченні границі функції зліва та справа (односторонні границі), тобто і , і при цьому:

1. якщо , то точканазиваєтьсяточкою усувного розриву;

2. якщо , то точканазиваєтьсяточкою скінченного розриву.

Величину називаютьстрибком функції в точці розриву першого роду.

Точка розриву називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці хоча б одна з її односторонніх границь (зліва або справа) не існує або є нескінченною.

Приклад 9.

Дослідити на неперервність функцію .

Розв’язок.

Знайдемо область визначення функції. Оскільки , то.

Область визначення функції має вигляд: .

Функція визначена при всіх значеннях , окрім . Отже, точка– точка розриву функції. Дослідимо точку розриву, для цього обчислимо односторонні границі функції в зазначеній точці.

.

.

Оскільки одна із односторонніх границь дорівнює , то в точці функція має розрив другого роду.

Графік функції показаний на рис. 3.

6. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Вища математика математичний аналіз функцій однієї змінної
   • 0501 „Економіка і підприємництво”,
   • 0502 „Менеджмент”
   • Видання розглянуто і рекомендовано до друку на засіданні кафедри фізико-математичних дисциплін (протокол № 5 від 13 січня 2009 р.);
   • Скорочені теоретичні відомості
   • 1. Границі і неперервність функції
   • Границя числової послідовності і функції в точці і на нескінченності. Односторонні границі функції в точці.
   • 1.2. Основні теореми про границі
   • 1.3. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
   • 1.4. Приклади обчислення границь
   • 1.5. Неперервність функції
   • Питання для самоперевірки
   • 2. Диференціальне числення функції однієї змінної
   • 2.1. Похідна функції. Геометричний зміст похідної функції
   • 2.2. Основні правила диференціювання функції. Таблиця похідних
   • Таблиця похідних основних елементарних функцій
   • Основні правила диференціювання
   • Похідна складної функції
   • Зведена таблиця формул диференціювання
   • Похідна оберненої функції
   • Диференціювання функцій, заданих параметрично
   • Диференціювання неявної функції
   • Логарифмічне диференціювання
   • Похідні вищих порядків
   • 2.3. Диференціал функції
   • 2.4. Застосування диференціального числення функції однієї змінної
   • 2.4.1. Застосування похідної при обчисленні границь.
   • Правило Лопіталя
   • 2.4.2. Зростання і спадання функції на інтервалі
   • 2.4.3. Екстремуми функції
   • 2.4.4. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
   • Значень функції на відрізку:
   • 2.4.5. Опуклість графіка функції. Точки перегину
   • Проміжки опуклості, вгнутості й точки перегину:
   • 2.4.6. Асимптоти графіка функції
   • 2.4.7. Повне дослідження функції і побудова її графіка
   • 2.5. Питання для самоперевірки
   • 3. Інтегральне числення функції однієї змінної
   • 3.1. Невизначений інтеграл
   • 3.1.1 Властивості невизначеного інтеграла.
   • 3.1.2. Таблиця невизначених інтегралів
   • 3.1.3. Основні методи інтегрування
   • Метод безпосереднього інтегрування
   • Метод заміни змінної
   • Метод інтегрування частинами
   • 3.1.4. Інтегрування дрібно-раціональних функцій
   • Інтегрування найпростіших дробів
   • 3.1.5. Інтегрування тригонометричних функцій
   • , , .
   • 3.1.6. Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій
   • 3.1.7. Інтегрування диференціального бінома
   • 3.1.8. Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
   • 3.1.9. Питання для самоперевірки
   • 3.2. Визначений інтеграл
   • 3.2.1. Інтегральна сума і визначений інтеграл
   • 3.2.2. Властивості визначеного інтегралу
   • 3.2.3. Обчислення визначеного інтеграла
   • Метод заміни змінної в визначеному інтегралі
   • Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі
   • 3.2.4. Невласні інтеграли
   • 3.2.5. Геометричні застосування визначеного інтеграла
   • Обчислення площ плоских фігур у декартових координатах
   • Обчислення об'єму тіла обертання
   • Обчислення довжини дуги кривої
   • 3.2.6. Питання для самоперевірки
   • Література
   • Индивидуальні завдання до розрахунково-графічної роботи
   • 4) ; 5).
   • Таблиці вибору варіантів завдань для ргр № 2
   • 211 Група
   • 212 Група
   • 213 Група
   • 214 Група
   • 215 Група
   • 311 Група
   • 312 Група
   • 313 Група
   • 314 Група
   • 315 Група
   • 316 Група
   • 1111 Група
   • 1112 Група
   • 1211 Група
   • 1212 Група
   • 1311 Група
   • 1312 Група
   • 1313 Група
   • 1511 Група
   • 1512 Група

   Yandex.RTB R-A-252273-4