logo
RGR_2_Ekonomfak

3.2.1. Інтегральна сума і визначений інтеграл

Нехай функція визначена і обмежена на відрізку осі .

Розіб’ємо цей відрізок на частин, не обов'язково рівних, точками. Одержимо елементарні відрізки, де. На кожному відрізкувізьмемо довільну точкуі обчислимо значення функціїв кожній обраній точці.

Складемо суму

,

яка називається інтегральною сумою функції на відрізку .

Для даної функції на відрізку можна скласти незліченну множину інтегральних сум, оскільки побудова інтегральної суми полягає в довільному діленні заданого відрізка на елементарні відрізки і довільному виборі точок на кожному елементарному відрізку. Позначимо через – довжину найбільшого з елементарних відрізків.

Границя інтегральної суми за умови, що прагне до нуля, якщо ця границя існує і не залежить від способу розбиття відрізка на частини і від вибору в кожній частині точки , називаєтьсявизначеним інтегралом від функції в межах віддоі позначається.

,

де – нижня межа інтегрування; – верхня межа інтегрування;

–змінна інтегрування; – підінтегральна функція;

–підінтегральний вираз.

Функція, для якої на відрізку існує визначений інтеграл, називається інтегрованою на цьому відрізку. Для інтегрованості досить, щоб на відрізку функція була неперервна або мала кінцеве число розривів першого роду.

Якщо для неперервної на відрізку підінтегральної функції може бути знайдена первісна функція, то визначений інтеграл від цієї функції обчислюється заформулою Ньютона-Лейбніца як приріст первісної на цьому відрізку:

Приклад 38.

Обчислити визначені інтеграли: а); б).

Розв’язок.

а) ;

б) .

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4