1.3. Нескінченно малі і нескінченно великі функції

Функція називаєтьсянескінченно малою при , якщо

.

За визначенням границі функції рівність означає, що для заданого завгодно малого числа знайдеться таке число, що для всіх, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність.

Функція називаєтьсянескінченно великою при , якщо

.

За визначенням границі функції рівність означає, що для заданого завгодно великого числа знайдеться таке число , що для всіх, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність.

Зауваження: Аналогічно, можна говорити про нескінченно великі і нескінченно малі функції при .

Нескінченно великі і нескінченно малі функції мають наступні властивості.

Властивість 1. Сума скінченної кількості нескінченно малих функцій є функцією нескінченно малою.

Властивість 2. Добуток обмеженої функції на нескінченно малу функцію є функцією нескінченно малою.

Властивість 3. Добуток постійної на нескінченно малу функцію є функцією нескінченно малою.

Властивість 4. Добуток скінченної кількості нескінченно малих функцій є функцією нескінченно малою.

Властивість 5. Сума скінченної кількості нескінченно великих функцій є функцією нескінченно великою.

Властивість 6. Добуток обмеженої функції на нескінченно велику функцію є функцією нескінченно великою.

Властивість 7. Добуток постійної на нескінченно велику функцію є функцією нескінченно великою.

Властивість 8. Функція, обернена за величиною нескінченно великий, є функцією нескінченно малою

Властивість 9. Функція, обернена за величиною нескінченно малій, є функцією нескінченно великою.

Зауваження: властивості 8 й 9 відображають зв'язок між нескінченно великою і нескінченно малою функціями.

Якщо прийняти наступні позначення: нескінченно мала функція – символ 0, нескінченно велика функція – символ , постійна величина – символ , обмежена функція – символ, то всі викладені властивості можна записати в такий спосіб:

1. ; 4.; 7.;

2. ; 5.; 8.;

3. ; 6.; 9.

Для порівняння двох нескінченно малих функцій іпри знаходять границю їх відношення:

1. Якщо , тоназивається нескінченно малою функцією більш високого порядку в порівнянні із

2. Якщо тоназивається нескінченно малою функцією більш високого порядку в порівнянні із

3. Якщо , тойназиваються нескінченно малими функціями одного і того ж порядку.

4. Якщо , те й називаються еквівалентними (рівносильними) нескінченно малими: .

При обчисленні границь використовують наступні заміни еквівалентних нескінченно малих функцій при або:

, ,,,

, ,,,

, ,,.

Варто зауважити, що границя відношення нескінченно малих функцій дорівнює границі відношення еквівалентних їм нескінченно малих функцій.

Зауваження:заміну нескінченно малих функцій на еквівалентні їм нескінченно малі функції не можна робити у випадку різниці нескінченно малих функцій.