2.4.6. Асимптоти графіка функції

Побудова графіка функції полегшується, якщо знати його асимптоти.

Асимптотою графіка функції називається пряма, яка має таку властивість, що відстань від змінної точки на графіку до прямої прагне до нуля при необмеженому видаленні точки на графіку від початку координат (тобто при прагненні аргументу до нескінченності).

Розрізняють вертикальні та похилі асимптоти. Частковим випадком похилої асимптоти є горизонтальна асимптота.

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо .

Вертикальні асимптоти проходять через точки нескінченного розриву функції. Тому вертикальні асимптоти графік функції може мати лише в точках розриву другого роду або на границях області визначення.

Похилі асимптоти отримують при дослідженні поведінки функції на нескінченності.

Рівняння похилої асимптоти має вигляд , де

, .

Зазначені границі потрібно знаходити окремо при і.Якщо ці границі будуть різними, то графік функції має дві різні похилі асимптоти: лівосторонню при і правосторонню при . Якщо ці границі рівні при і, то функція має одну похилу асимптоту.Якщо хоча б одна із зазначених границь, при знаходженні й дорівнює або не існує, то похилих асимптот немає.

В частковому випадку, якщо , а, графік функції має горизонтальну асимптоту, рівняння якої . Це пряма, паралельна вісі .

Приклад 21.

Знайти асимптоти графіка функції .

Розв’язок.

Функція визначена на всій числовій вісі, крім . Область визначення функції має вигляд: .

Отже, точка – точка розриву функції. Дослідимо точку розриву і обчислимо односторонні границі функції в зазначеній точці.

; .

Оскільки односторонні границі рівні , то в точці функція має розрив другого роду. Відповідно графік функції має вертикальну асимптоту (вісь).

Можливе рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді . Обчислимо значення параметрів і (для дрібно-раціональної функції границі будуть однакові при ).

;

.

Підставляючи знайдені значення і, одержимо рівняння похилої асимптоти .

Графік функції показано на рис.8