3.2.4. Невласні інтеграли

Визначений інтеграл , у якому проміжок інтегрування– скінченний, а підінтегральна функція– неперервна на відрізку , називаєтьсявласним інтегралом.

Невласним інтегралом називається визначений інтеграл від неперервної функції, але з нескінченним проміжком інтегрування або визначений інтеграл з скінченним проміжком інтегрування, але від функції, що має на ньому нескінченний розрив. Відповідно, розрізняють невласні інтеграли I роду (з нескінченними межами) і II роду (інтеграл від розривної функції).

Невласним інтегралом першого роду неперервної на інтерваліфункціїназивається скінченна границя.

Таким чином, за визначенням:

.

Якщо границя, яка знаходиться в правій частині рівності існує і скінченна, то невласний інтеграл збігається, у противному випадку – розбігається.

Аналогічно визначається невласний інтеграл на інтервалі :

.

Невласний інтеграл із двома нескінченними межами (на інтервалі ) розбивається на два за формулою:

, де – довільне число.

Такий інтеграл збігається лише тоді, коли збігаються обидва інтеграли на які він розбивається.

Приклад 41.

Обчислити невласні інтеграли І роду: а) ; б).

Розв’язок.

а) .

Оскільки границя – скінченна, то невласний інтеграл збігається.

б) .

Оскільки границя - нескінченна, то невласний інтеграл розбігається.

Невласним інтегралом другого роду неперервної на інтерваліфункції, що має нескінченний розрив при, називається скінченна границя. Таким чином, за визначенням:

.

Якщо границя, яка знаходиться в правій частині рівності існує і скінченна, то невласний інтеграл збігається, у противному випадку – розбігається.

Аналогічно, якщо функція , неперервна на інтервалі, має нескінченний розрив при, то невласний інтеграл другого роду визначається за формулою:

.

Якщо функція має нескінченний розрив у внутрішній точцівідрізка, то невласний інтеграл другого роду визначаєтьсяза формулою:

.

Такий інтеграл збігається лише тоді, коли збігаються обидва інтеграли на які він розбивається.

Приклад 42.

Обчислити невласний інтеграл ІІ роду .

Розв’язок.

Підінтегральна функція має нескінченний розрив на лівій межі проміжку інтегрування , оскільки дана функція не визначена приі. Тоді:

.

Оскільки границя – нескінченна, то невласний інтеграл розбігається.