2.4.7. Повне дослідження функції і побудова її графіка

Для побудови графіка функції необхідно з'ясувати його характерні риси, тобто дослідити функцію. Повне дослідження функції проводять за наступною схемою:

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на неперервність. Знайти вертикальні асимптоти.

3. Дослідити функцію на парність і непарність.

4. Дослідити функцію на періодичність.

5. Знайти точки перетину графіка функції із вісями координат.

6. Визначити проміжки монотонності і екстремуми функції.

7. Визначити проміжки опуклості, вгнутості і точки перегину.

8. Знайти похилі асимптоти графіка функції. Якщо графік не має похилих асимптот, дослідити поведінку функції при .

9. Побудувати графік функції (при необхідності знайти додаткові точки графіка функції).

Приклад 22.

Провести повне дослідження функцій і побудувати їхні графіки:

а) ; б).

Розв’язок.

а) .

1. Область визначення функції.

Функція визначена при всіх значеннях , крім тих, у яких знаменник перетворюється в нуль, тобто

, .

Область визначення функції .

2. Неперервність функції.

Функція визначена при всіх значеннях , крім . Отже, точки і – точки розриву функції. Дослідимо точки розриву, знайдемо односторонні границі функції в зазначених точках.

;

;

;

.

Оскільки односторонні границі дорівнюють , то в точках і функція має розриви другого роду. Отже, графік функції має дві вертикальні асимптоти і .

3. Парність, непарність.

Оскільки , то функція непарна і її графік симетричний відносно початку координат.

4. Періодичність.

Оскільки не існує значення , при якому виконується рівність , то функція неперіодична.

5. Точки перетину із осями координат.

Точки перетину графіка функції із координатними вісями шукаємо, дорівнюючи аргумент і функцію нулю.

Із віссю : ;;.

Точка перетину графіка функції із віссю має координати: .

Із віссю : .

Точка перетину графіка функції із віссю має координати: .

Отже, графік функції проходить через початок координат, інших точок перетину графіка функції із координатними вісями немає.

6. Проміжки зростання, спадання функції, екстремуми.

Знаходимо першу похідну:

.

Знаходимо критичні точки першого роду:

; .

Розіб'ємо область визначення критичними точками першого роду на інтервали і визначимо в кожному з них знак похідної .

Оскільки при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то екстремуму немає.

7. Проміжки опуклості, вгнутості, точки перегину.

Знаходимо другу похідну:

.

Знаходимо критичні точки другого роду: ;

; ;.

Розіб'ємо область визначення критичними точками другого роду на інтервали і визначимо в кожному з них знак другої похідної .

точка

перегину

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то – абсциса точки перегину. Точка перегину: .

8. Похилі асимптоти.

Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді . Обчислимо значення параметрів і (для дрібно-раціональної функції границі будуть однакові при ).

;

.

Оскільки і, то графік функції має горизонтальну асимптоту (вісь).

9. Побудова графіка.

Побудуємо графік функції, з огляду на пункти 1-8 (рис. 9).

Додатково знайдемо кілька точок графіка функції:

б) .

1. Область визначення функції.

Логарифмічна функція визначена при, крім цього знаменник не може дорівнювати нулю, тобто.

Тоді область визначення функції має вигляд: .

2. Неперервність функції.

Оскільки функція не визначена в точці , то це точка розриву. Дослідимо характер точки розриву, знайдемо односторонні границі функції.

;

.

Оскільки односторонні границі дорівнюють , то в точці функція має розрив другого роду. Отже, функція в цій точці має вертикальну асимптоту .

Дослідимо також поводження функції на границі області визначення:

.

Це означає, що при справа графік функції прагне до точки .

3. Парність, непарність.

Оскільки і, то функція ні парна ні непарна, тобто загального вигляду.

4. Періодичність.

Оскільки не існує значення , при якому виконується рівність , то функція неперіодична.

5. Точки перетину із вісями координат.

Із віссю :;;.

Оскільки отримана система не має розв’язку, це означає, що точок перетину графіка із віссю немає.

Із віссю : оскількине належить області визначення, то точок перетину із віссюнемає.

Графік функції не перетинає координатні вісі.

6. Проміжки зростання, спадання функції, екстремуми.

Знаходимо першу похідну:

.

Знаходимо критичні точки першого роду:

; ;;.

Розіб'ємо область визначення критичними точками першого роду на інтервали і визначимо в кожному із них знак похідної .

min

Оскільки при переході через критичну точку похідна змінює знак із «–» на «+», то в цій точці – мінімум функції.

Знайдемо значення функції в точці :.

7. Проміжки опуклості, вгнутості, точки перегину.

Знаходимо другу похідну:

.

Знаходимо критичні точки другого роду: .

; ;.

Розіб'ємо область визначення критичними точками другого роду на інтервали і визначимо в кожному із них знак другої похідної .

точка

перегину

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна змінює знак, то– абсциса точки перегину.

Знайдемо значення функції в точці :

.

8. Похилі асимптоти.

Обчислимо значення параметрів і (з огляду на область визначення функції можна розглядати лише випадок при).

;

.

Оскільки , то графік функції похилих асимптот не має.

Дослідимо поведінку функції при :

(дивись вище знаходження параметра ).

9. Побудова графіка.

Побудуємо графік функції, з огляду на пункти 1-8 (рис. 10).

Додатково знайдемо кілька точок графіка функції: