Правило Лопіталя

При обчисленні границі функції підстановка граничного значення аргументу часто приводить до невизначеностей виду ,, від яких неможливо позбутися за допомогою раніше вивчених прийомів. Теорема, відома за назвоюправило Лопіталя, є одним із основних інструментів для розкриття таких невизначеностей.

Правило Лопіталя: Нехай у деякому околі точки функціїідиференційовні та. Якщоіодночасно є нескінченно малими або нескінченно великими функціями при , тоді

,

за умови, що границя відношення похідних існує.

Ця теорема справедлива також і для односторонніх границь, і у випадку, коли .

У деяких випадках розкриття невизначеностей виду можлива необхідність кількаразового застосування правила Лопіталя.

Невизначеності ,,,,, зводяться до невизначеностей виду шляхом алгебраїчних перетворень.

Приклад 17.

Обчислити за допомогою правила Лопіталя границі:

а) ; б); в).

Розв’язок.

а)

.

б)

.

в) .

Позначимо границю через і прологарифмуємо вираз:

;

або .

Тоді:

.

Оскільки , то границя, яку ми знаходили, дорівнює:

.