3.1.6. Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій

У деяких випадках інтеграли від ірраціональних функцій за допомогою відповідної підстановки зводяться до інтегралів від раціональних функцій.

І. Інтеграли виду:, де– раціональна функція.

Такі інтеграли обчислюють за допомогою підстановки , де– загальний знаменник дробів(– найменше загальне кратне чиселі).

Приклад 33.

Знайти інтеграл .

Розв’язок.

.

Ми одержали інтеграл від неправильного раціонального дробу. Розділимо чисельник на знаменник.

Тоді інтеграл прийме вигляд:

.

ІІ. Інтеграли виду обчислюють за допомогою підстановки, де – найменше загальне кратне чисел .

Приклад 34.

Знайти інтеграл .

Розв’язок.

.

ІІІ. Інтеграли виду ,,обчислюють виділенням повного квадрата під знаком радикала і заміною змінної. У якості нової змінної приймається вираз, що перебуває в дужках в квадраті, який отримали після виділення повного квадрата.

Приклад 35.

Знайти інтеграл .

Розв’язок.

Виділимо повний квадрат у виразі під знаком радикала:

.

Після виділення повного квадрата видно, що в якості нової змінної інтегрування варто вибрати вираз . Одержуємо:

.

ІV. Інтеграли виду ,,приводяться до інтегралів від функцій, що раціонально залежать від тригонометричних функцій, за допомогою наступних тригонометричних підстановок:

для інтегралу :, тоді

;

для інтегралу :, тоді

для інтегралу :, тоді

Приклад 36.

Знайти інтеграли: а); б).

Розв’язок.

а)

.

Повертаємось до старої змінної і одержимо відповідь у найбільш простому вигляді. Оскільки , то

; ;

.

Отже, остаточна відповідь має вигляд:

.

б)

.

Повертаємось до старої змінної і одержимо відповідь у найбільш простому вигляді. Оскільки , то

.

Отже, остаточна відповідь має вигляд:

.