Границя числової послідовності і функції в точці і на нескінченності. Односторонні границі функції в точці.

Нехай задана множина всіх натуральних чисел, розташованих у порядку їхнього зростання: .

Якщо кожному числу із множини натуральних чисел за певним законом ставиться у відповідність одне дійсне число , то множина дійсних чисел називаєтьсячисловою послідовністю.

Коротко числова послідовність позначається . Найчастіше послідовність задається формулою його загального члена.

Наприклад, загальний член визначає послідовність:

.

Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого завгодно малого, наперед заданого, числаможна знайти такий номер послідовності, що для всіх членів послідовності з номеромвиконується нерівність. Графічно це означає, що всі члени послідовності із номеромперебувають у проміжку віддо( рис. 1).

Якщо така границя існує, то послідовність називається збіжною, у протилежному випадку – розбіжною.

Границя послідовності позначається:

Нехай функція визначена в деякому околі точки. У самій точці функція може бути й не визначена.

Число називається границею функції в точці (при), якщо для будь-якої числової послідовностізначень аргументу(), відповідна послідовність значень функціїпрагне до числаа.

Дане визначення границі функції графічно показано на рис. 2. При цьому передбачається, що послідовність належить області визначення функції.

Таким чином, число називається границею функції в точці (при), якщо для будь-якого завгодно малого числазнайдеться таке число, що для всіх значень аргументу, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність.

Границя функції в точці позначається:

.

Іноді буває так, що границя функції в точці має різну величину, колизліва, тобтоменше, і колисправа, тобтобільше. У такому випадку говорять проодносторонні границі функції в точці: лівосторонню і правосторонню відповідно.

Лівостороння границя функції в точці позначається:

.

Правостороння границя функції в точці позначається:

.

Число називаєтьсяграницею функції на нескінченності (при ), якщо для будь-якого завгодно малого числаможна вказати таке число, що для всіх значень аргументу, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність.

Границя функції на нескінченності позначається:

.

Зауваження: Позначення є узагальненням дляі. Якщо вибір знака є принциповим, то це повинне відображатися в умові завдання.