Обчислення об'єму тіла обертання

Тілом обертання навколо осі Ох називається фігура, отримана від обертання навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної на відрізку кривої і прямими , і (Рис.17).

Об'єм тіла обертання навколо осі визначається за формулою:

.

Тілом обертання навколо осі називається фігура, отримана від обертання навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної на відрізку кривої і прямими , і (рис.18).

Об'єм тіла обертання навколо осі визначається за формулою:

.

Приклад 44.

Обчислити об’єм тіла обертання.

а) Обчислити об’єм тіла утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями .

Розв’язок.

Побудуємо плоску фігуру, обмежену параболою (гілки спрямовані вправо)і вертикальними прямими , а також тіло, утворене обертанням навколо осі цієї плоскої фігури (рис. 19).

Визначимо об'єм тіла обертання, підставивши функцію у формулу для знаходження об'єму тіла обертання навколо осі :

(од.³⁾.

б) Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями .

Рішення.

Побудуємо плоску фігуру, обмежену гіперболою і горизонтальними прямими , а також тіло, утворене обертанням навколо осі цієї плоскої фігури (рис. 20).

Визначимо об'єм тіла обертання, підставивши функцію у формулу для знаходження об'єму тіла обертання навколо осі :

(од.³⁾.