1.4. Приклади обчислення границь

Застосовуючи теореми про границі, а також властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій, практичне обчислення границі функції при зводиться до підстановки замість його граничного значення і обчисленню значення виразу. При цьому символ не пишеться.

Приклад 1.

Обчислити границі: а) ; б) .

Розв’язок.

а) .

На практиці теореми про границі, властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій враховуються подумки, рішення оформлюється в такий спосіб:

.

б) .

Якщо в результаті підстановки замість його граничного значення неможливо судити про результат, говорять, що має місце невизначеність і для обчислення границі необхідне перетворення функції – говорять, що потрібно “позбутися від невизначеності” або “розкрити невизначеність”.

До основних невизначеностей відносять наступні випадки, отримані в результаті підстановки:

, ,,,,,,.

Залежно від виду невизначеності і виду функції, границю якої знаходять, застосовують різні підходи для її розкриття.

Наприклад, якщо невизначеність отримана при обчисленні границі дробово-раціональної функції (відношення двох многочленів) при , то для розкриття невизначеності необхідно розкласти на множники чисельник і знаменник дробу і скоротити дріб на загальний множник . На етапі скорочення відбувається розкриття невизначеності.

Приклад 2.

Обчислити границю .

Розв’язок.

Оскільки при безпосередній підстановці замість граничного значення отримують невизначеністьі функція дробово-раціональна, розкладемо на множники чисельник і знаменник.

D = (–1)² – 4·1·(–6) = 1 + 24 = 25 D = 1² – 4·2·(–21) = 1 + 168 = 169

; .;.

Тоді . Тоді .

Підставимо замість многочленів їх розкладення на множники й отримаємо:

.

Якщо невизначеність отримана при обчисленні границі дробово-ірраціональної функції при , то щоб виділити загальний множник чисельника і знаменника , а потім скоротити дріб, необхідно помножити чисельник і знаменник на сполучений вираз для випадку квадратного кореня та на неповний квадрат суми або різниці для випадку кубічного кореня.

Приклад 3.

Обчислити границі: а) ; б) .

Розв’язок.

а) Оскільки при безпосередній підстановці у функцію отримують невизначеність виду , функція дробово-ірраціональна і містить корінь квадратний, то для розкриття невизначеності помножимо чисельник і знаменник на вираз, сполучений чисельнику, і скористаємося формулою .

=

=

=.

б) Оскільки при безпосередній підстановці у функцію отримують невизначеність виду , функція дробово-ірраціональна і містить корінь кубічний, то для розкриття невизначеності помножимо чисельник і знаменник на неповний квадрат суми для виразу в знаменнику і скористаємося формулою .

.

Для розкриття невизначеності одержуваної при обчисленні границі дробово-раціональної функції при, застосовують прийом винесення аргументу найбільшого степеня (чисельника або знаменника) за дужки в чисельнику і знаменнику та його наступне скорочення.

Приклад 4.

Обчислити границі: а) ; б) .

Розв’язок.

а)

.

б)

=.

Якщо під знаком границі містяться тригонометричні функції, то невизначеність розкривається за допомогою перетворень, що приводять до скорочення дробу та зведення отриманого виразу до першої визначної границі або її наслідків.

Приклад 5.

Обчислити границю .

Розв’язок.

Перший спосіб.

Помножимо чисельник і знаменник дробу на іта скористаємося першою стандартною границею і її наслідками.

=.

Другий спосіб.

Цю ж границю можна обчислити, використовуючи еквівалентності нескінченно малих тригонометричних функцій.

Невизначеність виду розкривається зведенням до другої визначної границі.

Приклад 6.

Обчислити границю .

Розв’язок.

Оскільки при безпосередній підстановці отримуємо невизначеність виду , скористаємося наслідком із другої визначної границі, попередньо перетворивши функцію.

.

Невизначеність виду може зводитися до невизначеності виду за допомогою перетворень. Далі застосовується прийом розкриття невизначеності виду.

Приклад 7.

Обчислити границю .

Розв’язок.

Підставимо замість граничне значення:

.

Для розкриття даної невизначеності перетворимо вираз у дужках – виділимо цілу частину.

.

Невизначеності ,ізводять до видуабоза допомогою перетворення функції до дробу.

Приклад 8.

Обчислити границі: а) ; б) .

Розв’язок.

а)

.

б)

.