logo
RGR_2_Ekonomfak

Метод заміни змінної

Метод заміни змінної (метод підстановки) полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановки) . При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтегралу, який повинен бути табличним або таким, що зводиться до табличного інтегралу.

Метод заміни змінної описується наступною формулою:

.

Зауваження: не існує загального правила вибору підстановок. Вміння правильно підібрати підстановку визначається досвідом або виглядом підінтегральної функції.

Часто формулу заміни змінної застосовують також і у зворотному порядку: застосовують підстановку , тобто частина підінтегральної функції позначається через нову змінну. Потім із заміни виражають змінну, знаходять диференціалі підставляють усе у початковий підінтегральний вираз. Після знаходження інтеграла від нової змінноїповертаються до старої змінної. Для цього підходу справедлива формула:

.

Зауваження: якщо підінтегральний вираз містить деяку функцію та її диференціал з точністю до коефіцієнта, то виражати змінну із підстановкинеобов'язково.

Приклад 24.

Знайти інтеграли: а) ; б); в).

Розв’язок.

а)

.

б)

.

в) .

Зауваження: розглянемо випадок, коли існує можливість заміни лінійного виразу , яка приводить до табличного інтеграла (див. Приклад 24а); так називану лінійну підстановку.

Якщо відома первісна для деякої функції:

,

то ,

тобто .

Використовуючи дане зауваження, можна розширити можливість застосування табличних інтегралів, наприклад:

;

;

;

.

Приклад 25.

Знайти інтеграли, використовуючи зауваження про лінійну підстановку:

а) ; б); в); г).

Розв’язок.

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4