Логарифмічне диференціювання

При обчисленні похідної від логарифма добутку, частки, степеня або кореня, для спрощення знаходження похідної роблять попереднє перетворення (див. Приклад 10(з)).

У ряді випадків для знаходження похідної доцільно задану функцію спочатку прологарифмувати (найчастіше мається на увазі натуральний логарифм). Потім знайти похідну від цього логарифма і по ній відшукати похідну від заданої функції. Такий прийом називається логарифмічним диференціюванням.

Метод логарифмічного диференціювання дозволяє легко знаходити похідні показово-ступеневих функцій виду

,

де й – диференційовні функції аргументу .

Приклад 14.

Знайти похідну функції .

Розв’язок.

Прологарифмуємо обидві частини функції й перетворимо вираз:

.

Тепер диференціюємо рівняння, як неявно задану функцію:

;

;

;

;

Оскільки , то остаточно отримуємо:

.