Проміжки опуклості, вгнутості й точки перегину:

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти першу похідну .

3. Знайти другу похідну .

4. Знайти критичні точки ІІ роду.

5. Розбити критичними точками ІІ роду область визначення функції на інтервали.

6. Визначити знак другої похідної на кожному із інтервалів (методом підстановки значень аргументу або методом інтервалів).

7. Визначити проміжки опуклості (вгнутості) графіка функції.

8. Визначити, використовуючи достатню ознаку, які із критичних точок другого роду є точками перегину.

9. Обчислити значення функції в отриманих точках перегину.

10. Результати оформити у вигляді таблиці.

Приклад 20.

Знайти проміжки опуклості (вгнутості) й точки перегину графіка функції .

Розв’язок.

Функція визначена на всій числовій вісі. Область визначення функції має вигляд: .

Знаходимо першу похідну функції:

.

Знаходимо другу похідну функції:

.

Знаходимо критичні точки другого роду:

.

Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю і знаменник не дорівнює нулю:

; .

Отже, точка – критична точка ІІ роду.

Розбиваємо всю числову вісь на інтервали і визначаємо знак другої похідної на кожному із інтервалів.

Оскільки на інтервалах друга похідна від’ємна, то на цих інтервалах графік функції опуклий.

Інтервалів вгнутості графік функції не має.

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна не змінює свій знак, то в цій точці перегину немає.

Наближений вид графіка функції приведено на рис 6.