3.1. Невизначений інтеграл

У диференціальному численні розв’язується наступна задача: для поданої функції знайти її похідну або диференціал. Інтегральне числення розв’язує обернену задачу – знаходження самої функції за її похідною або диференціалом.

Функція називаєтьсяпервісною функцією (або просто первісною) для функції на проміжку, якщо в кожній точціцього проміжку виконується рівність:

.

Наприклад, функція є первісною функціїна усій числовій осі, тому що.

Вочевидь, що первісними будуть також будь-які функції , де– постійна, тому що.

Теорема. Якщо функція є первісною функції на інтервалі , то множина всіх первісних для визначається за формулою , де– деяка константа (довільне число).

Таким чином, невизначеним інтегралом від функції називається множина всіх її первісних:

.

Тут – знак невизначеного інтеграла,

–підінтегральна функція,

–підінтегральний вираз.

Операція знаходження невизначеного інтеграла від деякої функції називається інтегруванням цієї функції.

Геометрично невизначений інтеграл представляє собою сімейство паралельних кривих (кожному числовому значеннювідповідає певна крива сімейства).

Невизначений інтеграл існує для всякої неперервної на проміжку функції.

Правильність інтегрування завжди можна перевірити, виконавши зворотну дію, тобто знайшовши похідну функції, яку отримали в результаті інтегрування.

Похідна функції, отриманої в результаті інтегрування, повинна дорівнювати підінтегральній функції.