3.1.7. Інтегрування диференціального бінома

Інтеграли виду

,

де – дійсні числа,– раціональні числа (дроби) називаютьсяінтегралами від диференціального бінома або інтегралами Чебишева.

Інтеграл від диференціального бінома обчислюють приведенням до інтеграла від раціональної функції наступними підстановками:

1. Якщо – ціле число, то застосовують підстановку, де– найменше загальне кратне знаменників дробіві;

2. Якщо – ціле число, то застосовують підстановку, де– знаменник дробу;

3. Якщо – ціле число, то застосовують підстановку, де– знаменник дробу;

У всіх інших випадках інтеграли виду не виражаються через елементарні функції, тобто «не беруться».

Приклад 37.

Знайти інтеграл .

Розв’язок.

Перепишемо інтеграл .

У цьому випадку показники .

Оскільки – ціле число, то ми маємо справу із другим випадком і застосуємо підстановку, де– знаменник дробу, тобто.

Одержуємо:

.